Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: −10 µC слева, −8 µC справа на расстоянии 20 cm и −10 µC между ними, на расстоянии 12 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = −8 µCq_M = −10 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 6 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 4 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 5 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 1 ms.

i(0) = 3 AR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,334 A? Найдите t.

V_s = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется со скоростью 3 × 10⁵ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 0,4 T. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁵ m/sB = 0,4 T

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

В селекторе скоростей скрещённые поля E = 8 × 10⁴ V/m и B = 0,1 T пропускают прямо только ионы одной скорости. Найдите эту скорость v.

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0,1 T

v = m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mH

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 49,94 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = +k·10·10 × 10⁻¹²/0,12² = 62,43 N

F_R = −k·8·10 × 10⁻¹²/0,08² = −112,4 N

Результирующая сила

F = 62,43 + (−112,4) = −49,94 N → |F| = 49,94 N

Ответ

F = 49,94 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 172,7 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,04² = 134,8 N

F₂ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,05² = 107,9 N

Векторная сумма

F = √(134,8² + 107,9²) = 172,7 N

Ответ

F = 172,7 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,756 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7,886 Ω

R_eq = R₁ + 7,886 = 3 + 7,886 = 10,89 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/10,89 = 2,756 A

Ответ

I_R1 = 2,756 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 2,864 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,091 Ω

R₃ + 5,091 = 35,09 Ω

R₂ ∥ 35,09 = 1,892 Ω

R_eq = R₁ + 1,892 = 10 + 1,892 = 11,89 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/11,89 = 3,027 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 3,027·10 = 5,728 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,728/2 = 2,864 A

Ответ

I_R2 = 2,864 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 33,94 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

Убывание тока

i(t) = 3·e^−1/0,7021 = 0,7221 A

v_R = R·i = 47·0,7221 = 33,94 V

Ответ

v_R = 33,94 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 2,542 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 9/(20 + 15) = 0,2571 A

i(∞) = 9/20 = 0,45 A

τ = L/R = 100/20 = 5 ms

i(t) = 0,45 + (0,2571 − 0,45)·e^−t/τ

Выразите время

e^−t/τ = (0,334 − 0,45)/(0,2571 − 0,45) = 0,6015

t = 5·ln(1,663) = 2,542 ms

Ответ

t = 2,542 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,7832 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·3 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,007832 m = 0,7832 cm

Ответ

r = 0,7832 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: v = 800000 m/s

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0,1 = 800000 m/s

Ответ

v = 800000 m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 15,76 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·200·0,05 = 62,83 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 230/15 = 15,33 A

I_X = V/X_L = 230/62,83 = 3,661 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(15,33² + 3,661²) = 15,76 A

Ответ

I = 15,76 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 12,71 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−106,5)²) = 133,2 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/133,2 = 0,07508 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,07508·169,3 = 12,71 V

Ответ

V_C = 12,71 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism