Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +3 µC и заряд −10 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 30 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +3 µCq₂ = −10 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 8 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 6 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 4 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 4 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 2 ms, в mJ.

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 15 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 80 ms.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 15 Vt = 80 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 60 cm скользит со скоростью 1 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,2 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 5 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите силу F, необходимую для поддержания постоянной скорости стержня (трения нет).

B = 0,2 TL = 60 cmv = 1 m/sR = 5 Ω

F = mN

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 50 витков размером 15 cm × 15 cm вращается с частотой 3600 rpm в однородном поле 0,5 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 50A = 15 cm × 15 cmB = 0,5 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 9,29 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,3² = 299667 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,1² = 8,99 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |299667 + 8,99 × 10⁶| = 9,29 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 9,29 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 512,1 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,03² = 479,5 N

F₂ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,04² = 179,8 N

Векторная сумма

F = √(479,5² + 179,8²) = 512,1 N

Ответ

F = 512,1 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 25,09 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5,091 Ω

R_eq = R₁ + 5,091 = 20 + 5,091 = 25,09 Ω

Ответ

R_eq = 25,09 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2268 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 2,727 Ω

R₃ + 2,727 = 8,727 Ω

R₂ ∥ 8,727 = 4,66 Ω

R_eq = R₁ + 4,66 = 20 + 4,66 = 24,66 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/24,66 = 0,4866 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,4866·20 = 2,268 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,268/10 = 0,2268 A

Ответ

I_R2 = 0,2268 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 0,4622 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0,2273 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,2273·(1 − e^−2/1,5) = 0,1674 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·33·0,1674² = 0,4622 mJ

Ответ

W = 0,4622 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 11,7 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (15 − 9)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(80) = 9 + (6)·e^−80/100 = 11,7 V

Ответ

v_C = 11,7 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F = 2,88 mN

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,2·0,6·1 = 0,12 V

Ток

I = ε/R = 0,12/5 = 0,024 A

Тормозящая сила

Правило Ленца: сила, действующая на индукционный ток, противодействует движению.

F = BIL = 0,2·0,024·0,6 = 0,00288 N

Ответ

F = 2,88 mN

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 149,9 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,0225 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 50·0,5·0,0225·377 = 212,1 V

Действующее значение

E_rms = 212,1/√2 = 149,9 V

Ответ

E_rms = 149,9 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 6,234 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (31)²) = 36,89 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/36,89 = 6,234 A

Ответ

I = 6,234 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,166 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (31)²) = 85,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/85,8 = 1,166 A

Ответ

I = 1,166 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism