Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +4 µC и заряд +6 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 22,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +4 µCq₂ = +6 µCr₁ = 22,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 3 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 5 ms.

i(0) = 1,5 AR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 25 V? Найдите t.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 25 cm скользит со скоростью 2,5 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,1 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 2,5 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите силу F, необходимую для поддержания постоянной скорости стержня (трения нет).

B = 0,1 TL = 25 cmv = 2,5 m/sR = 2,5 Ω

F = mN

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 800 витков, длину 30 cm и диаметр 5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 800l = 30 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 8,879 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,225² = 710321 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,075² = 9,589 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |710321 − 9,589 × 10⁶| = 8,879 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 8,879 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 8,001 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·3·1 × 10⁻¹²/0,06² = 7,492 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,08² = 2,809 N

Векторная сумма

F = √(7,492² + 2,809²) = 8,001 N

Ответ

F = 8,001 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2644 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 3 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7,879 Ω

R_eq = R₁ + 7,879 = 10 + 7,879 = 17,88 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/17,88 = 0,6712 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,6712·10 = 5,288 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,288/20 = 0,2644 A

Ответ

I_R2 = 0,2644 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,637 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 6 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 8,049 Ω

R₃ + 8,049 = 18,05 Ω

R₂ ∥ 18,05 = 4,503 Ω

R_eq = R₁ + 4,503 = 12 + 4,503 = 16,5 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/16,5 = 2,181 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,181·12 = 9,823 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,823/6 = 1,637 A

Ответ

I_R2 = 1,637 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 4,373 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

Убывание тока

i(t) = 1,5·e^−5/2,061 = 0,1325 A

v_R = R·i = 33·0,1325 = 4,373 V

Ответ

v_R = 4,373 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 47,13 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

Выразите время

25 = 20 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (25 − 20)/(30 − 20) = 0,5

t = τ·ln((30 − 20)/(25 − 20)) = 68·ln(2) = 47,13 ms

Ответ

t = 47,13 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F = 0,625 mN

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,1·0,25·2,5 = 0,0625 V

Ток

I = ε/R = 0,0625/2,5 = 0,025 A

Тормозящая сила

Правило Ленца: сила, действующая на индукционный ток, противодействует движению.

F = BIL = 0,1·0,025·0,25 = 0,000625 N

Ответ

F = 0,625 mN

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 5,264 mH

Поперечное сечение

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,001963/0,3 = 0,005264 H = 5,264 mH

Ответ

L = 5,264 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,2921

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 62,83 Ω, X_C = 144,7 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(25² + (−81,85)²) = 85,59 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 25/85,59 = 0,2921

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,2921

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 352 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−106,5)²) = 110,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/110,6 = 2,079 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 2,079·169,3 = 352 V

Ответ

V_C = 352 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism