Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +6 µC и заряд +2 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +6 µCq₂ = +2 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +6 µC и +6 µC находятся на расстоянии 12 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 8 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCd = 12 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 25 ms.

V_s = 15 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 25 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 9 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 6,75 V, ровно через 1000 ms после старта. При C = 100 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 9 VV_th = 6,75 VT = 1000 msC = 100 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 40 cm скользит со скоростью 4 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,5 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 8 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите ток I.

B = 0,5 TL = 40 cmv = 4 m/sR = 8 Ω

I = mA

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 400 витков, длину 30 cm и диаметр 2 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 0,5 A.

N = 400l = 30 cm⌀ = 2 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mH

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 22 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 936458 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,12² = 3,746 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,08² = 2,809 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |3,746 × 10⁶ − 2,809 × 10⁶| = 936458 N/C

Ответ

E = 936458 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 8,63 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(6² + 8²) = 10 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·5,394 × 10⁶·0,8 = 8,63 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 8,63 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 21,46 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 12 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω

R_eq = R₁ + 6,462 = 15 + 6,462 = 21,46 Ω

Ответ

R_eq = 21,46 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,8815 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 20 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 8,936 Ω

R₃ + 8,936 = 14,94 Ω

R₂ ∥ 14,94 = 4,28 Ω

R_eq = R₁ + 4,28 = 20 + 4,28 = 24,28 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/24,28 = 1,236 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,236·20 = 5,289 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,289/6 = 0,8815 A

Ответ

I_R2 = 0,8815 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 1,545 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 15/20 = 0,75 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−25/11 = 1,545 V

Ответ

v_L = 1,545 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 7,213 kΩ

Требуемая постоянная времени

6,75 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 6,75))

τ = 1000/1,386 = 721,3 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 721,3/100 = 7,213 kΩ

Ответ

R = 7,213 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 100 mA

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,5·0,4·4 = 0,8 V

Ток

I = ε/R = 0,8/8 = 0,1 A

Ответ

I = 100 mA

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 26,32 µJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 210,6 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,0002106·0,5² = 2,632 × 10⁻⁵ J = 26,32 µJ

Ответ

W = 26,32 µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 7,865 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·100·0,05 = 31,42 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 230/80 = 2,875 A

I_X = V/X_L = 230/31,42 = 7,321 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,875² + 7,321²) = 7,865 A

Ответ

I = 7,865 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,3734 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (613,8)²) = 615,9 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/615,9 = 0,3734 A

Ответ

I = 0,3734 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism