Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +10 µC и +3 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +10 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +10 µCq₂ = +3 µCd = 60 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 3 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 10 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 2 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,6 A? Найдите t.

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

V_s = 20 VR₁ = 33 ΩR₂ = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 50 cm скользит со скоростью 8 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,25 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 1 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите силу F, необходимую для поддержания постоянной скорости стержня (трения нет).

B = 0,25 TL = 50 cmv = 8 m/sR = 1 Ω

F = mN

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 10 mH и 20 mH имеют коэффициент связи 0,2. Ток в первой катушке меняется со скоростью 50 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 10 mHL₂ = 20 mHk = 0,2di/dt = 50 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 10 mH должен резонировать на частоте 200 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 200 HzL = 10 mH

C = µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 2 mH и C = 0,47 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 10 ΩL = 2 mHC = 0,47 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 38,77 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

10/x² = 3/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(3/10) = 0,5477

Положение

x = 60/(1 + 0,5477) = 38,77 cm

Ответ

x = 38,77 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 75,39 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·10·3 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

F₂ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N

Векторная сумма

F = √(74,92² + 8,428²) = 75,39 N

Ответ

F = 75,39 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,462 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 20 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 8·30/(8+30) = 6,316 Ω

R_eq = R₁ + 6,316 = 6 + 6,316 = 12,32 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12,32 = 1,462 A

Ответ

I_R1 = 1,462 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 19,66 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 2,727 Ω

R₃ + 2,727 = 5,727 Ω

R₂ ∥ 5,727 = 4,66 Ω

R_eq = R₁ + 4,66 = 15 + 4,66 = 19,66 Ω

Ответ

R_eq = 19,66 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 2,656 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

Выразите время

0,6 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,6)

t = 1,65·ln(5) = 2,656 ms

Ответ

t = 2,656 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,5846 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 20/(33 + 22) = 0,3636 A

i(∞) = 20/33 = 0,6061 A

τ = L/R = 68/33 = 2,061 ms

i(t) = 0,6061 + (0,3636 − 0,6061)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 0,6061 + (−0,2424)·e^−5/2,061 = 0,5846 A

Ответ

i = 0,5846 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F = 125 mN

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,25·0,5·8 = 1 V

Ток

I = ε/R = 1/1 = 1 A

Тормозящая сила

Правило Ленца: сила, действующая на индукционный ток, противодействует движению.

F = BIL = 0,25·1·0,5 = 0,125 N

Ответ

F = 125 mN

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 0,1414 V

Взаимная индуктивность

M = 0,2·√(10·20) = 2,828 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,002828·50 = 0,1414 V

Ответ

ε = 0,1414 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 63,33 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,01) = 63,33 µF

Ответ

C = 63,33 µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 795,8 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,47·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,002/(0,47·10⁻⁶)) = 6,523

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 5191/6,523 = 795,8 Hz

Ответ

B = 795,8 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism