Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +10 µC и заряд +3 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +10 µCq₂ = +3 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 6 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 6 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 4 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 4 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.

V_s = 20 VR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 9 V, ровно через 200 ms после старта. При C = 1 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 12 VV_th = 9 VT = 200 msC = 1 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 10 витков имеет площадь 80 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,3 T, перпендикулярном её плоскости, за 10 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 10A = 80 cm²B = 0,3 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 250 витков размером 10 cm × 25 cm вращается с частотой 600 rpm в однородном поле 0,3 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 250A = 10 cm × 25 cmB = 0,3 Tn = 600 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 22 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 5,411 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,12² = 6,243 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,18² = 832407 N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |6,243 × 10⁶ − 832407| = 5,411 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 5,411 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 92,17 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·6·6 × 10⁻¹²/0,1² = 32,36 N

F₂ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N

Векторная сумма

F = √(32,36² + 86,3²) = 92,17 N

Ответ

F = 92,17 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,526 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 2 + 7,5 = 9,5 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9,5 = 2,526 A

Ответ

I_R1 = 2,526 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 36,12 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 10,5 Ω

R₃ + 10,5 = 12,5 Ω

R₂ ∥ 12,5 = 6,122 Ω

R_eq = R₁ + 6,122 = 30 + 6,122 = 36,12 Ω

Ответ

R_eq = 36,12 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 40,18 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3,3 ms

i(∞) = V_s/R = 20/10 = 2 A

Ток в заданный момент

i(t) = 2·(1 − e^−5/3,3) = 1,56 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·33·1,56² = 40,18 mJ

Ответ

W = 40,18 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 144,3 kΩ

Требуемая постоянная времени

9 = 12·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(12/(12 − 9))

τ = 200/1,386 = 144,3 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 144,3/1 = 144,3 kΩ

Ответ

R = 144,3 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 4,8 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,3·0,008 = 0,0048 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0048/0,01 = 4,8 V

Ответ

ε = 4,8 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 83,3 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

A = 0,025 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 250·0,3·0,025·62,83 = 117,8 V

Действующее значение

E_rms = 117,8/√2 = 83,3 V

Ответ

E_rms = 83,3 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 4,019 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−40,93)²) = 57,23 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/57,23 = 4,019 A

Ответ

I = 4,019 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,3371 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (21,9)²) = 29,66 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/29,66 = 0,3371 A

Ответ

I = 0,3371 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism