Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +6 µC и заряд −2 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 16 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +6 µCq₂ = −2 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 8 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 80 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 12° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 80 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 90% конечного значения? Найдите t.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i₂ через R₂ при t = 750 ms.

V_s = 10 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 220 µFt = 750 ms

i₂ = mA

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 200 витков площадью 80 cm² и сопротивлением 25 Ω образует замкнутую цепь. Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,1 T до 0,9 T за 10 ms. Найдите средний индукционный ток I.

N = 200A = 80 cm²B: 0,1 T → 0,9 TΔt = 10 msR = 25 Ω

I = A

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 1000 витков, длину 20 cm и диаметр 1,5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 1000l = 20 cm⌀ = 1,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 47 µF

P = W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 47 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,419 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,16² = 2,107 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,24² = 312153 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |2,107 × 10⁶ + 312153| = 2,419 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 2,419 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 453,1 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 12° = 0,01668 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 12° = 0,3327 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3327·√(0,01668/8,99 × 10⁹) = 4,531 × 10⁻⁷ C = 453,1 nC

Ответ

q = 453,1 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 24,88 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 6·26/(6+26) = 4,875 Ω

R_eq = R₁ + 4,875 = 20 + 4,875 = 24,88 Ω

Ответ

R_eq = 24,88 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 25,2 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 8 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 2,857 Ω

R₃ + 2,857 = 14,86 Ω

R₂ ∥ 14,86 = 5,2 Ω

R_eq = R₁ + 5,2 = 20 + 5,2 = 25,2 Ω

Ответ

R_eq = 25,2 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,151 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Выразите время

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −0,5·ln(0,1) = 1,151 ms

Ответ

t = 1,151 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i₂ = 0,3294 mA

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 4,7·220 = 1034 ms

Разряд

v_C(t) = 3,197·e^−750/1034 = 1,548 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,548/4,7 = 0,3294 mA

Ответ

i₂ = 0,3294 mA

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 5,12 A

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,9 − 0,1)·0,008 = 0,0064 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,0064/0,01 = 128 V

Ток

I = ε/R = 128/25 = 5,12 A

Ответ

I = 5,12 A

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 1,11 mH

Поперечное сечение

A = π·(0,0075)² = 0,0001767 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0,0001767/0,2 = 0,00111 H = 1,11 mH

Ответ

L = 1,11 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 2,845 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 47,12 Ω, X_C = 67,73 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(40² + (−20,6)²) = 44,99 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 12/44,99 = 0,2667 A

P = I²·R = 0,2667²·40 = 2,845 W

Ответ

P = 2,845 W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 17,78 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (8,201)²) = 12,93 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/12,93 = 17,78 A

Ответ

I = 17,78 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism