Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды −1 µC и +6 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 50 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = +6 µCr = 50 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 6 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 6 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 6 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 6 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 6 Vt = 200 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Электрон движется вниз по странице в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на него.

v: вниз по страницеB: в плоскость страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 250 витков размером 12 cm × 20 cm вращается с частотой 1800 rpm в однородном поле 0,2 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 250A = 12 cm × 20 cmB = 0,2 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 0,2248 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (−1 + 6)/2 = 2,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,2248 N

Ответ

F = 0,2248 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 184,5 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

F₂ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

Векторная сумма

F = √(168,6² + 74,92²) = 184,5 N

Ответ

F = 184,5 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,6977 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 5·25/(5+25) = 4,167 Ω

R_eq = R₁ + 4,167 = 3 + 4,167 = 7,167 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,167 = 0,8372 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,8372·3 = 3,488 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,488/5 = 0,6977 A

Ответ

I_R2 = 0,6977 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,706 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 6,222 Ω

R₃ + 6,222 = 12,22 Ω

R₂ ∥ 12,22 = 7,586 Ω

R_eq = R₁ + 7,586 = 10 + 7,586 = 17,59 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/17,59 = 1,706 A

Ответ

I_R1 = 1,706 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,431 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/22 = 0,6818 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6818·(1 − e^−1/1) = 0,431 A

Ответ

i = 0,431 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 9,119 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 15 + (6 − 15)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(200) = 15 + (−9)·e^−200/470 = 9,119 V

Ответ

v_C = 9,119 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: влево

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

v: вниз по странице, B: в плоскость страницы

Отрицательный заряд

Сила, действующая на электрон, противоположна силе, действующей на положительный заряд.

Направление силы

влево

Ответ

F: влево

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 159,9 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,024 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 250·0,2·0,024·188,5 = 226,2 V

Действующее значение

E_rms = 226,2/√2 = 159,9 V

Ответ

E_rms = 159,9 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,2093 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (1097)²) = 1099 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/1099 = 0,2093 A

Ответ

I = 0,2093 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 2,346 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (613,8)²) = 616,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/616,8 = 0,1621 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,1621·14,47 = 2,346 V

Ответ

V_C = 2,346 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism