Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды +4 µC и −5 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 50 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −5 µCr = 50 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 3 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 4 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 4 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 15 ms, в mJ.

V_s = 24 VR = 10 ΩL = 220 mHt = 15 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 15 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 15 ms.

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 15 Vt = 15 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 8 cm друг от друга проводят токи 5 A и 2 A в противоположных направлениях. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.

I₁ = 5 AI₂ = 2 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 50 mH и 20 mH имеют коэффициент связи 0,2. Ток в первой катушке меняется со скоростью 50 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 50 mHL₂ = 20 mHk = 0,2di/dt = 50 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 0,00899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (4 + −5)/2 = −0,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,00899 N

Ответ

F = 0,00899 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 31,59 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·3·1 × 10⁻¹²/0,03² = 29,97 N

F₂ = k·4·1 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N

Векторная сумма

F = √(29,97² + 9,989²) = 31,59 N

Ответ

F = 31,59 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 15,68 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 12 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 5·14/(5+14) = 3,684 Ω

R_eq = R₁ + 3,684 = 12 + 3,684 = 15,68 Ω

Ответ

R_eq = 15,68 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3382 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 3 + 10 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3,611 Ω

R₃ + 3,611 = 8,611 Ω

R₂ ∥ 8,611 = 6,019 Ω

R_eq = R₁ + 6,019 = 10 + 6,019 = 16,02 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/16,02 = 1,124 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,124·10 = 6,764 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,764/20 = 0,3382 A

Ответ

I_R2 = 0,3382 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 154,8 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms

i(∞) = V_s/R = 24/10 = 2,4 A

Ток в заданный момент

i(t) = 2,4·(1 − e^−15/22) = 1,186 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·220·1,186² = 154,8 mJ

Ответ

W = 154,8 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 13,9 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 12 + (15 − 12)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(15) = 12 + (3)·e^−15/33 = 13,9 V

Ответ

v_C = 13,9 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 35 µT

Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.

Поле каждого провода в точке P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·5/0,04 = 25 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·2/0,04 = 10 µT

Объедините

B = B₁ + B₂ = 35 µT

Ответ

B = 35 µT

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 0,3162 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = 0,2·√(50·20) = 6,325 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,006325·50 = 0,3162 V

Ответ

ε = 0,3162 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,8252 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (278)²) = 278,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/278,7 = 0,8252 A

Ответ

I = 0,8252 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 27,54 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−629,2)²) = 630,5 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/630,5 = 0,03807 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,03807·723,4 = 27,54 V

Ответ

V_C = 27,54 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism