Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +4 µC и +2 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +4 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCd = 60 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 3 × 10⁷ m/s. Длина пластин 4 cm, напряжённость поля между ними 3100 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

V_s = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 33 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 500 витков имеет площадь 200 cm². Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,2 T до 0,3 T за 100 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 500A = 200 cm²B: 0,2 T → 0,3 TΔt = 100 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 1500 витков, длину 10 cm и диаметр 1 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 1,5 A.

N = 1500l = 10 cm⌀ = 1 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩC = 22 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 35,15 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

4/x² = 2/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(2/4) = 0,7071

Положение

x = 60/(1 + 0,7071) = 35,15 cm

Ответ

x = 35,15 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 0,4846 mm

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,04/3 × 10⁷ = 1,333 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3100/9,109 × 10⁻³¹ = 5,452 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·5,452 × 10¹⁴·(1,333 × 10⁻⁹)² = 0,0004846 m = 0,4846 mm

Ответ

y = 0,4846 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,375 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 6 + 10 = 16 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/16 = 0,375 A

Ответ

I_R1 = 0,375 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,9816 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 6 + 25 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 15,25 Ω

R₃ + 15,25 = 18,25 Ω

R₂ ∥ 18,25 = 3,281 Ω

R_eq = R₁ + 3,281 = 12 + 3,281 = 15,28 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/15,28 = 0,9816 A

Ответ

I_R1 = 0,9816 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 18,21 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

Убывание тока

i(t) = 1,5·e^−1/1 = 0,5518 A

v_R = R·i = 33·0,5518 = 18,21 V

Ответ

v_R = 18,21 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,3442 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 6/(15 + 33) = 0,125 A

i(∞) = 6/15 = 0,4 A

τ = L/R = 47/15 = 3,133 ms

i(t) = 0,4 + (0,125 − 0,4)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 0,4 + (−0,275)·e^−5/3,133 = 0,3442 A

Ответ

i = 0,3442 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 10 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,3 − 0,2)·0,02 = 0,002 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,002/0,1 = 10 V

Ответ

ε = 10 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 2,498 mJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 2,221 mH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,002221·1,5² = 0,002498 J = 2,498 mJ

Ответ

W = 2,498 mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,4095 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 12/50 = 0,24 A

I_X = V/X_C = 12/36,17 = 0,3318 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,3318²) = 0,4095 A

Ответ

I = 0,4095 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 51,03 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·2,2·10⁻⁶) = 1447 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−1415)²) = 1418 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/1418 = 0,03527 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,03527·1447 = 51,03 V

Ответ

V_C = 51,03 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism