Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +1 µC и +10 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +1 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +1 µCq₂ = +10 µCd = 50 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 10 ms.

V_s = 15 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 24 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 15 ms.

V_s = 10 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 24 Vt = 15 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Электрон движется со скоростью 5 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 1 mT. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 1 mT

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Дейтрон проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 2 × 10⁵ V/m и B₁ = 0,1 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 0,25 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 0,25 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 20 mH должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 2000 HzL = 20 mH

C = µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 12,01 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

1/x² = 10/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(10/1) = 3,162

Положение

x = 50/(1 + 3,162) = 12,01 cm

Ответ

x = 12,01 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 7,564 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,08² = 2,809 N

F₂ = k·5·1 × 10⁻¹²/0,08² = 7,023 N

Векторная сумма

F = √(2,809² + 7,023²) = 7,564 N

Ответ

F = 7,564 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,9091 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 12 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 8·16/(8+16) = 5,333 Ω

R_eq = R₁ + 5,333 = 2 + 5,333 = 7,333 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7,333 = 1,364 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,364·2 = 7,273 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,273/8 = 0,9091 A

Ответ

I_R2 = 0,9091 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,7648 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 10 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 3,913 Ω

R₃ + 3,913 = 23,91 Ω

R₂ ∥ 23,91 = 1,846 Ω

R_eq = R₁ + 1,846 = 6 + 1,846 = 7,846 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,846 = 0,7648 A

Ответ

I_R1 = 0,7648 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,431 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 15/22 = 0,6818 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6818·(1 − e^−10/10) = 0,431 A

Ответ

i = 0,431 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 13,12 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 10 + (24 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(15) = 10 + (14)·e^−15/10 = 13,12 V

Ответ

v_C = 13,12 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 2,843 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001) = 0,02843 m = 2,843 cm

Ответ

r = 2,843 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 16,7 cm

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,1 = 2 × 10⁶ m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B₂) = 0,167 m = 16,7 cm

Ответ

r = 16,7 cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 0,3166 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,02) = 0,3166 µF

Ответ

C = 0,3166 µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,01867 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (640,7)²) = 642,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/642,7 = 0,01867 A

Ответ

I = 0,01867 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism