Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++5 µC++8 µCE = 0100 cm

Заряды +5 µC и +8 µC находятся на расстоянии 100 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +5 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q1 = +5 µCq2 = +8 µCd = 100 cm
x = cm
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
++P2 × 10 cm4 cm+4 µC+4 µC

Заряды +4 µC и +4 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 4 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +4 µCq2 = +4 µCd = 20 cmh = 4 cm
E = N/C
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 30 ΩR5 = 2 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​6 Vt = 0R = 68 ΩL220 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

Vs = 6 VR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms
i = A
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​20 Vt = 0R = 1 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 15 ms.

Vs = 20 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 30 Vt = 15 ms
vC = V
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
R = 5 Ωv = 2,5 m/sL = 30 cmB = 0,2 T

Металлический стержень длиной 30 cm скользит со скоростью 2,5 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,2 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 5 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите силу F, необходимую для поддержания постоянной скорости стержня (трения нет).

B = 0,2 TL = 30 cmv = 2,5 m/sR = 5 Ω
F = mN
8.Магнитные поля и индукцияСложная
I = 1,5 Al = 20 cmN = 400, ⌀ 2 cm

Длинный соленоид без сердечника имеет 400 витков, длину 20 cm и диаметр 2 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 1,5 A.

N = 400l = 20 cm⌀ = 2 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
12 V500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
VfR = 20 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF

Последовательный RLC-контур имеет R = 20 Ω, L = 1 mH и C = 0,47 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 20 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF
Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 44,15 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

5/x² = 8/(100 − x)²
(100 − x)/x = √(8/5) = 1,265

Положение

x = 100/(1 + 1,265) = 44,15 cm

Ответ

x = 44,15 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,303 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(10² + 4²) = 10,77 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,1077² = 3,1 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E1·(h/r) = 2·3,1 × 10⁶·0,3714 = 2,303 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 2,303 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 11,73 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 2 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 8·7/(8+7) = 3,733 Ω
Req = R1 + 3,733 = 8 + 3,733 = 11,73 Ω

Ответ

Req = 11,73 Ω
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,664 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 7,5 Ω
R3 + 7,5 = 12,5 Ω
R2 ∥ 12,5 = 2,419 Ω
Req = R1 + 2,419 = 12 + 2,419 = 14,42 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/14,42 = 1,664 A

Ответ

IR1 = 1,664 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,06942 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms
i(∞) = Vs/R = 6/68 = 0,08824 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,08824·(1 − e−5/3,235) = 0,06942 A

Ответ

i = 0,06942 A
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 25,06 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 20 + (30 − 20)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(15) = 20 + (10)·e−15/22 = 25,06 V

Ответ

vC = 25,06 V
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F = 1,8 mN

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,2·0,3·2,5 = 0,15 V

Ток

I = ε/R = 0,15/5 = 0,03 A

Тормозящая сила

Правило Ленца: сила, действующая на индукционный ток, противодействует движению.

F = BIL = 0,2·0,03·0,3 = 0,0018 N

Ответ

F = 1,8 mN
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 355,3 µJ

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 315,8 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,0003158·1,5² = 0,0003553 J = 355,3 µJ

Ответ

W = 355,3 µJ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,02617 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (456,8)²) = 458,5 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/458,5 = 0,02617 A

Ответ

I = 0,02617 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 2,306

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонансная частота

f0 = 1/(2π·√(0,001·0,47·10⁻⁶)) = 7341 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,001/(0,47·10⁻⁶)) = 2,306

Ответ

Q = 2,306

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism