Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды +10 µC и +3 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 10 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = +3 µCr = 10 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 5 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 50 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 15° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 50 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

V_s = 20 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 47 µF

τ = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Найдите ток катушки i при t = 10 ms.

V_s = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩL = 150 mHt = 10 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 20 витков имеет площадь 10 cm². Катушка находится в однородном поле 0,8 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 100 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 20A = 10 cm²B = 0,8 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 50 mH и 200 mH имеют коэффициент связи 0,6. Ток в первой катушке меняется со скоростью 500 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 50 mHL₂ = 200 mHk = 0,6di/dt = 500 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 10 µF

cos φ =

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 37,98 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (10 + 3)/2 = 6,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(6,5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 37,98 N

Ответ

F = 37,98 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 312,9 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 15° = 0,01314 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 15° = 0,2588 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2588·√(0,01314/8,99 × 10⁹) = 3,129 × 10⁻⁷ C = 312,9 nC

Ответ

q = 312,9 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 2,308 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3,2 Ω

R_eq = R₁ + 3,2 = 2 + 3,2 = 5,2 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/5,2 = 2,885 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2,885·2 = 9,231 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,231/4 = 2,308 A

Ответ

I_R2 = 2,308 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,9422 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 8 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 4,5 Ω

R₃ + 4,5 = 12,5 Ω

R₂ ∥ 12,5 = 6,122 Ω

R_eq = R₁ + 6,122 = 2 + 6,122 = 8,122 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8,122 = 1,847 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,847·2 = 11,31 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,31/12 = 0,9422 A

Ответ

I_R2 = 0,9422 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 42,73 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 20·1/(10 + 1) = 1,818 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,9091·47 = 42,73 ms

Ответ

τ = 42,73 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,7701 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 6/(5 + 5) = 0,6 A

i(∞) = 6/5 = 1,2 A

τ = L/R = 150/5 = 30 ms

i(t) = 1,2 + (0,6 − 1,2)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(10) = 1,2 + (−0,6)·e^−10/30 = 0,7701 A

Ответ

i = 0,7701 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 160 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,8·0,001 = 0,0008 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0008/0,1 = 0,16 V

Ответ

ε = 160 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 30 V

Взаимная индуктивность

M = 0,6·√(50·200) = 60 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,06·500 = 30 V

Ответ

ε = 30 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,2512

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 62,83 Ω, X_C = 159,2 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(25² + (−96,32)²) = 99,51 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 25/99,51 = 0,2512

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,2512

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 31,97 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−43,65)²) = 52,97 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/52,97 = 0,1888 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,1888·169,3 = 31,97 V

Ответ

V_C = 31,97 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism