Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +10 µC и заряд +6 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 30 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +10 µCq₂ = +6 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 3 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 3 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 150 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 150 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 250 ms.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 Vt = 250 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 60 cm скользит со скоростью 3 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,4 T, направленном в плоскость рисунка. Найдите ЭДС индукции ε между его концами.

B = 0,4 TL = 60 cmv = 3 m/s

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 500 витков, длину 25 cm и диаметр 1,5 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 4 A.

N = 500l = 25 cm⌀ = 1,5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 349611 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,2² = 1,348 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |998889 − 1,348 × 10⁶| = 349611 N/C

Ответ

E = 349611 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 65,67 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,05² = 53,94 N

F₂ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,06² = 37,46 N

Векторная сумма

F = √(53,94² + 37,46²) = 65,67 N

Ответ

F = 65,67 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,6 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 5 + 10 = 15 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15 = 0,6 A

Ответ

I_R1 = 0,6 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 16,79 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 4 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 10,43 Ω

R₃ + 10,43 = 12,43 Ω

R₂ ∥ 12,43 = 8,791 Ω

R_eq = R₁ + 8,791 = 8 + 8,791 = 16,79 Ω

Ответ

R_eq = 16,79 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 0,5756 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 12·1/(10 + 1) = 1,091 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,9091·220 = 200 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 1,091·(1 − e^−150/200) = 0,5756 V

Ответ

v_C = 0,5756 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 10,51 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 6 + (20 − 6)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(250) = 6 + (14)·e^−250/220,9 = 10,51 V

Ответ

v_C = 10,51 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 720 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,4·0,6·3 = 0,72 V

Ответ

ε = 720 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 1,777 mJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 222,1 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,0002221·4² = 0,001777 J = 1,777 mJ

Ответ

W = 1,777 mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,2526 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (464,5)²) = 475,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/475,1 = 0,2526 A

Ответ

I = 0,2526 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 93,29 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 71,7 − j45,05 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 10 + 71,7 − j45,05 = 81,7 − j45,05 Ω

|Z| = √(81,7² + 45,05²) = 93,29 Ω

Ответ

|Z| = 93,29 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism