Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: −6 µC слева, −4 µC справа на расстоянии 20 cm и +1 µC между ними, на расстоянии 12 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −6 µCq_R = −4 µCq_M = +1 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 10 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 3 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 3 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 0,5 AR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 9 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 7,2 V, ровно через 1000 ms после старта. При R = 100 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 1000 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 4 cm друг от друга проводят токи 25 A и 2 A в противоположных направлениях. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.

I₁ = 25 AI₂ = 2 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 800 витков, длину 30 cm и диаметр 2,5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 800l = 30 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 10 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 1,873 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = −k·6·1 × 10⁻¹²/0,12² = −3,746 N

F_R = +k·4·1 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N

Результирующая сила

F = −3,746 + (5,619) = 1,873 N → |F| = 1,873 N

Ответ

F = 1,873 N

Результирующая сила направлена вправо.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 76,22 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·10 × 10⁻¹²/0,08² = 14,05 N

F₂ = k·3·10 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

Векторная сумма

F = √(14,05² + 74,92²) = 76,22 N

Ответ

F = 76,22 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 21,76 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω

R_eq = R₁ + 1,765 = 20 + 1,765 = 21,76 Ω

Ответ

R_eq = 21,76 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 7,919 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 12 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 6,296 Ω

R₃ + 6,296 = 11,3 Ω

R₂ ∥ 11,3 = 3,919 Ω

R_eq = R₁ + 3,919 = 4 + 3,919 = 7,919 Ω

Ответ

R_eq = 7,919 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,0554 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

Убывание тока

i(t) = 0,5·e^−1/0,4545 = 0,0554 A

Ответ

i = 0,0554 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 6,213 µF

Требуемая постоянная времени

7,2 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 1000/1,609 = 621,3 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 621,3/100 = 6,213 µF

Ответ

C = 6,213 µF

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 270 µT

Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.

Поле каждого провода в точке P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·25/0,02 = 250 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·2/0,02 = 20 µT

Объедините

B = B₁ + B₂ = 270 µT

Ответ

B = 270 µT

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 1,316 mH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Поперечное сечение

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,0004909/0,3 = 0,001316 H = 1,316 mH

Ответ

L = 1,316 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 85,33 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (612,4)²) = 614,4 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(612,4/50) = 85,33°

Ответ

φ = 85,33°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 141,4 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 10/50 = 0,2 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 14142·0,05 = 707,1 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·707,1 = 141,4 V

Ответ

V_L = 141,4 V

Это в Q = 14,14 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism