Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +3 µC и заряд −10 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 2,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +3 µCq₂ = −10 µCr₁ = 2,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +8 µC и +8 µC находятся на расстоянии 16 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 8 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCd = 16 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 5 ms.

V_s = 5 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 5 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 4 V, ровно через 20 ms после старта. При C = 22 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 5 VV_th = 4 VT = 20 msC = 22 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 500 витков имеет площадь 10 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,2 T, перпендикулярном её плоскости, за 250 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 500A = 10 cm²B = 0,2 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 800 витков, длину 40 cm и диаметр 4 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 800l = 40 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 22 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 5,913 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,025² = 4,315 × 10⁷ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,075² = 1,598 × 10⁷ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |4,315 × 10⁷ + 1,598 × 10⁷| = 5,913 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 5,913 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 7,946 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(8² + 8²) = 11,31 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,1131² = 5,619 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·5,619 × 10⁶·0,7071 = 7,946 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 7,946 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,35 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω

R_eq = R₁ + 1,667 = 5 + 1,667 = 6,667 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/6,667 = 1,35 A

Ответ

I_R1 = 1,35 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 6,241 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 5 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 3,448 Ω

R₃ + 3,448 = 5,448 Ω

R₂ ∥ 5,448 = 3,241 Ω

R_eq = R₁ + 3,241 = 3 + 3,241 = 6,241 Ω

Ответ

R_eq = 6,241 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 1,718 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4,681 ms

i(∞) = V_s/R = 5/47 = 0,1064 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−5/4,681 = 1,718 V

Ответ

v_L = 1,718 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 0,5648 kΩ

Требуемая постоянная времени

4 = 5·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 4))

τ = 20/1,609 = 12,43 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 12,43/22 = 0,5648 kΩ

Ответ

R = 0,5648 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 800 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,2·0,001 = 0,0004 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,0004/0,25 = 0,8 V

Ответ

ε = 800 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 2,527 mH

Поперечное сечение

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,001257/0,4 = 0,002527 H = 2,527 mH

Ответ

L = 2,527 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1059 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (53,32)²) = 113,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/113,3 = 0,1059 A

Ответ

I = 0,1059 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 164,2 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·47·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

Ответ

f₀ = 164,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism