Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: −10 µC слева, +8 µC справа на расстоянии 10 cm и +8 µC между ними, на расстоянии 4 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = +8 µCq_M = +8 µCr_L = 4 cmr_R = 6 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 3 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 1 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 1 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 20 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 220 µFt = 200 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 10 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 300 ms.

V_s = 15 VR = 6,8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 10 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 50 витков имеет площадь 200 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,1 T, перпендикулярном её плоскости, за 250 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 50A = 200 cm²B = 0,1 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 500 витков размером 8 cm × 25 cm вращается в однородном поле 0,3 T вокруг оси, перпендикулярной полю. С какой скоростью n (в оборотах в минуту) она должна вращаться, чтобы действующее значение ЭДС составляло 666,4 V?

N = 500A = 8 cm × 25 cmB = 0,3 TE_rms = 666,4 V

n = rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 609,3 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = −k·10·8 × 10⁻¹²/0,04² = −449,5 N

F_R = −k·8·8 × 10⁻¹²/0,06² = −159,8 N

Результирующая сила

F = −449,5 + (−159,8) = −609,3 N → |F| = 609,3 N

Ответ

F = 609,3 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 9,231 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

F₂ = k·1·3 × 10⁻¹²/0,06² = 7,492 N

Векторная сумма

F = √(5,394² + 7,492²) = 9,231 N

Ответ

F = 9,231 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 3 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 6 + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_eq = R₁ + 3 = 3 + 3 = 6 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/6 = 3 A

Ответ

I_R1 = 3 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 9,731 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 20 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 7,368 Ω

R₃ + 7,368 = 22,37 Ω

R₂ ∥ 22,37 = 4,731 Ω

R_eq = R₁ + 4,731 = 5 + 4,731 = 9,731 Ω

Ответ

R_eq = 9,731 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 3,982 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·2,2/(3,3 + 2,2) = 1,32 kΩ

v_C(∞) = 20·2,2/(3,3 + 2,2) = 8 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 1,32·220 = 290,4 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 8·(1 − e^−200/290,4) = 3,982 V

Ответ

v_C = 3,982 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 11,78 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 15 + (10 − 15)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(300) = 15 + (−5)·e^−300/680 = 11,78 V

Ответ

v_C = 11,78 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 800 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,1·0,02 = 0,004 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,004/0,25 = 0,8 V

Ответ

ε = 800 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: n = 3000 rpm

Амплитудная ЭДС

E₀ = √2·E_rms = 942,4 V

Угловая скорость

ω = E₀/(NBA) = 942,4/(500·0,3·0,02) = 314,1 rad/s

Обороты в минуту

n = 60·314,1/(2π) = 3000 rpm

Ответ

n = 3000 rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 2,818 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (18,96)²) = 35,49 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/35,49 = 2,818 A

Ответ

I = 2,818 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 711,8 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·1·10⁻⁶)) = 711,8 Hz

Ответ

f₀ = 711,8 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism