Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +5 µC и заряд +6 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 24 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +5 µCq₂ = +6 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 1 × 10⁷ m/s. Длина пластин 6 cm, напряжённость поля между ними 2800 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

V_s = 24 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µF

τ = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 18,8 V? Найдите t.

V_s = 20 VR = 3,3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 50 витков имеет площадь 80 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,2 T, перпендикулярном её плоскости, за 10 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 50A = 80 cm²B = 0,2 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 40 mH и 10 mH имеют коэффициент связи 0,8. Ток в первой катушке меняется со скоростью 20 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 40 mHL₂ = 10 mHk = 0,8di/dt = 20 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 1 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,327 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,24² = 780382 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,16² = 2,107 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |780382 − 2,107 × 10⁶| = 1,327 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,327 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 8,864 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,06/1 × 10⁷ = 6 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2800/9,109 × 10⁻³¹ = 4,924 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·4,924 × 10¹⁴·(6 × 10⁻⁹)² = 0,008864 m = 8,864 mm

Ответ

y = 8,864 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,5484 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 2 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1,789 Ω

R_eq = R₁ + 1,789 = 8 + 1,789 = 9,789 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/9,789 = 0,6129 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,6129·8 = 1,097 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,097/2 = 0,5484 A

Ответ

I_R2 = 0,5484 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,1811 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 10 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4 Ω

R₃ + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 6,061 Ω

R_eq = R₁ + 6,061 = 10 + 6,061 = 16,06 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/16,06 = 0,7472 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,7472·10 = 4,528 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,528/25 = 0,1811 A

Ответ

I_R2 = 0,1811 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 151,3 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·1/(2,2 + 1) = 0,6875 kΩ

v_C(∞) = 24·1/(2,2 + 1) = 7,5 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,6875·220 = 151,3 ms

Ответ

τ = 151,3 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 79,23 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 20 + (18 − 20)·e^−t/τ

Выразите время

18,8 = 20 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18,8 − 20)/(18 − 20) = 0,6

t = τ·ln((18 − 20)/(18,8 − 20)) = 155,1·ln(1,667) = 79,23 ms

Ответ

t = 79,23 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 16 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,2·0,008 = 0,0032 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0032/0,01 = 16 V

Ответ

ε = 16 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 0,32 V

Взаимная индуктивность

M = 0,8·√(40·10) = 16 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,016·20 = 0,32 V

Ответ

ε = 0,32 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1768 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−556,8)²) = 565,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/565,7 = 0,1768 A

Ответ

I = 0,1768 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,07305 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (152,9)²) = 164,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/164,3 = 0,07305 A

Ответ

I = 0,07305 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism