Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +4 µC и заряд +6 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 30 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +4 µCq₂ = +6 µCr₁ = 30 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 3 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 6 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 6 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 25 ms.

V_s = 9 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µFt = 25 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 12,3 V? Найдите t.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Круговой контур находится в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Индукция поля убывает. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке.

B: в плоскость страницыdB/dt < 0

1по часовой стрелке
2против часовой стрелки

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 800 витков, длину 20 cm и диаметр 1 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 800l = 20 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mH

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 1 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 199778 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,3² = 599333 N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |399556 − 599333| = 199778 N/C

Ответ

E = 199778 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 37,4 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

F₂ = k·6·3 × 10⁻¹²/0,1² = 16,18 N

Векторная сумма

F = √(33,71² + 16,18²) = 37,4 N

Ответ

F = 37,4 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 9,44 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 15 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 8·17/(8+17) = 5,44 Ω

R_eq = R₁ + 5,44 = 4 + 5,44 = 9,44 Ω

Ответ

R_eq = 9,44 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,4762 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 5 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 14,58 Ω

R₃ + 14,58 = 18,58 Ω

R₂ ∥ 18,58 = 6,501 Ω

R_eq = R₁ + 6,501 = 25 + 6,501 = 31,5 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/31,5 = 0,4762 A

Ответ

I_R1 = 0,4762 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 0,2722 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 9·1/(10 + 1) = 0,8182 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,9091·68 = 61,82 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 0,8182·(1 − e^−25/61,82) = 0,2722 V

Ответ

v_C = 0,2722 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 397,3 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 9 + (20 − 9)·e^−t/τ

Выразите время

12,3 = 9 + (11)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,3 − 9)/(20 − 9) = 0,3

t = τ·ln((20 − 9)/(12,3 − 9)) = 330·ln(3,333) = 397,3 ms

Ответ

t = 397,3 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: по часовой стрелке

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток из плоскости страницы возрастает, или поток в плоскость страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: в плоскость страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

по часовой стрелке

Ответ

по часовой стрелке

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 315,8 µH

Поперечное сечение

A = π·(0,005)² = 7,854 × 10⁻⁵ m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·7,854 × 10⁻⁵/0,2 = 0,0003158 H = 315,8 µH

Ответ

L = 315,8 µH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 54,75 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/80 = 1,25 A

I_X = V/X_L = 100/56,55 = 1,768 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,25² + 1,768²) = 2,166 A

Угол сдвига фаз

Ток катушки отстаёт от V, поэтому общий ток отстаёт и угол положителен.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1,768/1,25) = 54,75°

Ответ

φ = 54,75°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 15,99 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (467,1)²) = 477,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/477,7 = 0,05024 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,05024·318,3 = 15,99 V

Ответ

V_C = 15,99 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism