Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +2 µC и заряд +8 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 7,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +2 µCq₂ = +8 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 2,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 10 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 8 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 8 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 10,8 V, ровно через 50 ms после старта. При C = 47 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 12 VV_th = 10,8 VT = 50 msC = 47 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 15 cm друг от друга проводят токи 12 A и 10 A в одном направлении. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.

I₁ = 12 AI₂ = 10 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 200 витков размером 15 cm × 10 cm вращается с частотой 1200 rpm в однородном поле 0,3 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 200A = 15 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 1200 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 50 Ω, L = 50 mH и C = 0,01 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 50 ΩL = 50 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,119 × 10⁸ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,075² = 3,196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,025² = 1,151 × 10⁸ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |3,196 × 10⁶ − 1,151 × 10⁸| = 1,119 × 10⁸ N/C

Ответ

E = 1,119 × 10⁸ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 159,9 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·10·5 × 10⁻¹²/0,06² = 124,9 N

F₂ = k·8·5 × 10⁻¹²/0,06² = 99,89 N

Векторная сумма

F = √(124,9² + 99,89²) = 159,9 N

Ответ

F = 159,9 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,4466 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7,879 Ω

R_eq = R₁ + 7,879 = 8 + 7,879 = 15,88 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/15,88 = 1,134 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,134·8 = 8,931 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,931/20 = 0,4466 A

Ответ

I_R2 = 0,4466 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 7,439 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 6 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 2,471 Ω

R₃ + 2,471 = 7,471 Ω

R₂ ∥ 7,471 = 5,439 Ω

R_eq = R₁ + 5,439 = 2 + 5,439 = 7,439 Ω

Ответ

R_eq = 7,439 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 0,2941 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,2727·(1 − e^−1/0,4545) = 0,2425 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·10·0,2425² = 0,2941 mJ

Ответ

W = 0,2941 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 0,462 kΩ

Требуемая постоянная времени

10,8 = 12·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 10,8))

τ = 50/2,303 = 21,71 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 21,71/47 = 0,462 kΩ

Ответ

R = 0,462 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 5,333 µT

Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.

Поле каждого провода в точке P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·12/0,075 = 32 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·10/0,075 = 26,67 µT

Объедините

B = |B₁ − B₂| = 5,333 µT

Ответ

B = 5,333 µT

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 79,97 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,015 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 200·0,3·0,015·125,7 = 113,1 V

Действующее значение

E_rms = 113,1/√2 = 79,97 V

Ответ

E_rms = 79,97 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 9,529 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·100·0,05 = 31,42 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 50/10 = 5 A

I_X = V/X_L = 50/31,42 = 1,592 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 1,592²) = 5,247 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 50/5,247 = 9,529 Ω

Ответ

|Z| = 9,529 Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 159,2 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,01·10⁻⁶)) = 7118 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,05/(0,01·10⁻⁶)) = 44,72

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 7118/44,72 = 159,2 Hz

Ответ

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism