Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +6 µC и заряд −1 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 30 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +6 µCq₂ = −1 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +5 µC и +5 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 3 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +5 µCd = 20 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 60 ms.

V_s = 10 VR = 3,3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 5 Vt = 60 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 40 cm скользит со скоростью 8 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,25 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 5 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите ток I.

B = 0,25 TL = 40 cmv = 8 m/sR = 5 Ω

I = mA

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 100 витков размером 12 cm × 25 cm вращается с частотой 600 rpm в однородном поле 0,4 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 100A = 12 cm × 25 cmB = 0,4 Tn = 600 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,498 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,3² = 599333 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,1² = 899000 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |599333 + 899000| = 1,498 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,498 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,37 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(10² + 3²) = 10,44 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,1044² = 4,124 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,124 × 10⁶·0,2873 = 2,37 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 2,37 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 23,57 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 15 + 8,571 = 23,57 Ω

Ответ

R_eq = 23,57 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 23,49 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 5 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4 Ω

R₃ + 4 = 29 Ω

R₂ ∥ 29 = 8,488 Ω

R_eq = R₁ + 8,488 = 15 + 8,488 = 23,49 Ω

Ответ

R_eq = 23,49 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 0,21 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0,3636 A

Выразите время

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,303·ln(0,5) = 0,21 ms

Ответ

t = 0,21 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 7,812 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 10 + (5 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(60) = 10 + (−5)·e^−60/72,6 = 7,812 V

Ответ

v_C = 7,812 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 160 mA

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,25·0,4·8 = 0,8 V

Ток

I = ε/R = 0,8/5 = 0,16 A

Ответ

I = 160 mA

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 53,31 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

A = 0,03 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 100·0,4·0,03·62,83 = 75,4 V

Действующее значение

E_rms = 75,4/√2 = 53,31 V

Ответ

E_rms = 53,31 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,699

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 62,83 Ω, X_C = 144,7 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(80² + (−81,85)²) = 114,5 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 80/114,5 = 0,699

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,699

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 38,07 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (21,9)²) = 45,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/45,6 = 0,5263 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,5263·72,34 = 38,07 V

Ответ

V_C = 38,07 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism