Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +10 µC и заряд −5 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 15 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +10 µCq₂ = −5 µCr₁ = 15 cmr₂ = 45 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 25 ms, в mJ.

V_s = 15 VR = 5 ΩL = 100 mHt = 25 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 12 V, ровно через 250 ms после старта. При C = 4,7 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 250 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 6 cm друг от друга проводят токи 2 A и 5 A в одном направлении. Найдите силу на метр длины F/L между ними.

I₁ = 2 AI₂ = 5 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 100 mH и 10 mH имеют коэффициент связи 0,3. Ток в первой катушке меняется со скоростью 1000 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 100 mHL₂ = 10 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩC = 22 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 10 mH и C = 0,047 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 10 ΩL = 10 mHC = 0,047 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 4,218 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,45² = 221975 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |3,996 × 10⁶ + 221975| = 4,218 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 4,218 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 7,063 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,06² = 4,994 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,06² = 4,994 N

Векторная сумма

F = √(4,994² + 4,994²) = 7,063 N

Ответ

F = 7,063 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,604 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 8·9/(8+9) = 4,235 Ω

R_eq = R₁ + 4,235 = 2 + 4,235 = 6,235 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/6,235 = 1,604 A

Ответ

I_R1 = 1,604 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,3897 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 6 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 3,81 Ω

R₃ + 3,81 = 15,81 Ω

R₂ ∥ 15,81 = 8,83 Ω

R_eq = R₁ + 8,83 = 4 + 8,83 = 12,83 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/12,83 = 0,3897 A

Ответ

I_R1 = 0,3897 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 229,1 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 5 Ω = 20 ms

i(∞) = V_s/R = 15/5 = 3 A

Ток в заданный момент

i(t) = 3·(1 − e^−25/20) = 2,14 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·100·2,14² = 229,1 mJ

Ответ

W = 229,1 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 33,05 kΩ

Требуемая постоянная времени

12 = 15·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 12))

τ = 250/1,609 = 155,3 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 155,3/4,7 = 33,05 kΩ

Ответ

R = 33,05 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F/L = 33,33 µN/m

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·5/0,06 = 33,33 µN/m

Ответ

F/L = 33,33 µN/m

Токи одного направления притягиваются.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 9,487 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = 0,3·√(100·10) = 9,487 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,009487·1000 = 9,487 V

Ответ

ε = 9,487 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −19,06 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 24/25 = 0,96 A

I_X = V/X_C = 24/72,34 = 0,3318 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,96² + 0,3318²) = 1,016 A

Угол сдвига фаз

Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,3318/0,96) = −19,06°

Ответ

φ = −19,06°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 159,2 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,047·10⁻⁶)) = 7341 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,01/(0,047·10⁻⁶)) = 46,13

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 7341/46,13 = 159,2 Hz

Ответ

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism