Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды −10 µC и +8 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 20 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Примите k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = +8 µCr = 20 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 10 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 6 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 1 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 1 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 99% конечного значения? Найдите t.

V_s = 9 VR = 50 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 100 ms.

V_s = 10 VR = 3,3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 3 cm друг от друга проводят токи 25 A и 30 A в одном направлении. Найдите силу на метр длины F/L между ними.

I₁ = 25 AI₂ = 30 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 2000 витков, длину 10 cm и диаметр 2 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 2000l = 10 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 5 mH и C = 0,047 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,047 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 0,2247 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Заряд после соприкосновения

q′ = (−10 + 8)/2 = −1 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,2² = 0,2247 N

Ответ

F = 0,2247 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 91,63 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·6·10 × 10⁻¹²/0,08² = 84,28 N

F₂ = k·1·10 × 10⁻¹²/0,05² = 35,96 N

Векторная сумма

F = √(84,28² + 35,96²) = 91,63 N

Ответ

F = 91,63 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,221 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 20·19/(20+19) = 9,744 Ω

R_eq = R₁ + 9,744 = 5 + 9,744 = 14,74 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/14,74 = 1,221 A

Ответ

I_R1 = 1,221 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 11,6 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 15 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 3,673 Ω

R₃ + 3,673 = 18,67 Ω

R₂ ∥ 18,67 = 5,601 Ω

R_eq = R₁ + 5,601 = 6 + 5,601 = 11,6 Ω

Ответ

R_eq = 11,6 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 9,21 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 9/50 = 0,18 A

Выразите время

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −2·ln(0,01) = 9,21 ms

Ответ

t = 9,21 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 9,496 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 10 + (8 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(100) = 10 + (−2)·e^−100/72,6 = 9,496 V

Ответ

v_C = 9,496 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F/L = 5000 µN/m

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·25·30/0,03 = 5000 µN/m

Ответ

F/L = 5000 µN/m

Токи одного направления притягиваются.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 15,79 mH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Поперечное сечение

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,0003142/0,1 = 0,01579 H = 15,79 mH

Ответ

L = 15,79 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,055 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (109,7)²) = 113,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/113,8 = 1,055 A

Ответ

I = 1,055 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 159,2 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,047·10⁻⁶)) = 10382 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,005/(0,047·10⁻⁶)) = 65,23

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 10382/65,23 = 159,2 Hz

Ответ

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism