Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +8 µC и заряд −4 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 18 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +8 µCq₂ = −4 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 4 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 5 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 5 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 1 ms.

V_s = 24 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 12 V, ровно через 100 ms после старта. При C = 10 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 100 msC = 10 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 500 витков имеет площадь 20 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,4 T, перпендикулярном её плоскости, за 10 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 500A = 20 cm²B = 0,4 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Ток в катушке индуктивностью 20 mH равномерно меняется от 4 A до 0 A за 1 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 20 mH4 A → 0 AΔt = 1 ms

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 2,2 µF должен резонировать на частоте 500 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 500 HzC = 2,2 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 4,717 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,18² = 2,22 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,12² = 2,497 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |2,22 × 10⁶ + 2,497 × 10⁶| = 4,717 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 4,717 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 33,35 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·5·4 × 10⁻¹²/0,1² = 17,98 N

F₂ = k·5·4 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N

Векторная сумма

F = √(17,98² + 28,09²) = 33,35 N

Ответ

F = 33,35 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,134 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2,933 Ω

R_eq = R₁ + 2,933 = 5 + 2,933 = 7,933 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7,933 = 1,134 A

Ответ

I_R1 = 1,134 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 26,48 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 30 = 60 Ω

R₄ ∥ 60 = 3,75 Ω

R₃ + 3,75 = 5,75 Ω

R₂ ∥ 5,75 = 1,484 Ω

R_eq = R₁ + 1,484 = 25 + 1,484 = 26,48 Ω

Ответ

R_eq = 26,48 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 1,091 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 24/68 = 0,3529 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−1/0,3235 = 1,091 V

Ответ

v_L = 1,091 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 6,213 kΩ

Требуемая постоянная времени

12 = 15·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(15/(15 − 12))

τ = 100/1,609 = 62,13 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 62,13/10 = 6,213 kΩ

Ответ

R = 6,213 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 80 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,4·0,002 = 0,0016 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,0016/0,01 = 80 V

Ответ

ε = 80 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 80 V

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,02·4/0,001 = 80 V

Ответ

ε = 80 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 46,06 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·2,2·10⁻⁶) = 46,06 mH

Ответ

L = 46,06 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 57,48 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−144,2)²) = 147,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/147,3 = 0,3395 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,3395·169,3 = 57,48 V

Ответ

V_C = 57,48 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism