Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +10 µC и +1 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +10 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +10 µCq₂ = +1 µCd = 30 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 1 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 80 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 5° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 80 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i₂ через R₂ при t = 60 ms.

V_s = 9 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 47 µFt = 60 ms

i₂ = mA

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 20 витков имеет площадь 20 cm². Катушка находится в однородном поле 0,4 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 100 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 20A = 20 cm²B = 0,4 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 400 витков, длину 10 cm и диаметр 2 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 0,5 A.

N = 400l = 10 cm⌀ = 2 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 10 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 22,79 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

10/x² = 1/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(1/10) = 0,3162

Положение

x = 30/(1 + 0,3162) = 22,79 cm

Ответ

x = 22,79 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 43,09 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 5° = 0,0008583 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 5° = 0,1394 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1394·√(0,0008583/8,99 × 10⁹) = 4,309 × 10⁻⁸ C = 43,09 nC

Ответ

q = 43,09 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,148 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 10 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

R_eq = R₁ + 4,839 = 3 + 4,839 = 7,839 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7,839 = 1,148 A

Ответ

I_R1 = 1,148 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 2,947 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,974 Ω

R₃ + 8,974 = 16,97 Ω

R₂ ∥ 16,97 = 3,862 Ω

R_eq = R₁ + 3,862 = 4 + 3,862 = 7,862 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/7,862 = 3,816 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3,816·4 = 14,74 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,74/5 = 2,947 A

Ответ

I_R2 = 2,947 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 1,685 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,2·(1 − e^−5/2) = 0,1836 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·100·0,1836² = 1,685 mJ

Ответ

W = 1,685 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i₂ = 0,7301 mA

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 9·2,2/(4,7 + 2,2) = 2,87 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 2,2·47 = 103,4 ms

Разряд

v_C(t) = 2,87·e^−60/103,4 = 1,606 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,606/2,2 = 0,7301 mA

Ответ

i₂ = 0,7301 mA

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 160 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,4·0,002 = 0,0008 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0008/0,1 = 0,16 V

Ответ

ε = 160 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 78,96 µJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 631,7 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,0006317·0,5² = 7,896 × 10⁻⁵ J = 78,96 µJ

Ответ

W = 78,96 µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −85,68 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−661,5)²) = 663,4 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−661,5/50) = −85,68°

Ответ

φ = −85,68°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 60,3 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 10/50 = 0,2 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 15076·0,02 = 301,5 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·301,5 = 60,3 V

Ответ

V_L = 60,3 V

Это в Q = 6,03 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism