Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +5 µC и заряд +3 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 22,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +5 µCq₂ = +3 µCr₁ = 22,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +10 µC и +10 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 5 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = +10 µCd = 20 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,1 A? Найдите t.

i(0) = 1 AR = 33 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 6 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 9 V? Найдите t.

V_s = 12 VR = 6,8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 20 cm друг от друга проводят токи 12 A и 30 A в одном направлении. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.

I₁ = 12 AI₂ = 30 Ad = 20 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 200 витков, длину 50 cm и диаметр 2 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 2,5 A.

N = 200l = 50 cm⌀ = 2 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 10 µF должен резонировать на частоте 500 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 500 HzC = 10 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 50 Ω, L = 50 mH и C = 1 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 3,907 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,225² = 887901 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,075² = 4,795 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |887901 − 4,795 × 10⁶| = 3,907 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 3,907 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 6,433 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(10² + 5²) = 11,18 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,1118² = 7,192 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·7,192 × 10⁶·0,4472 = 6,433 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 6,433 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 19,2 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 8 + 10 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 12·18/(12+18) = 7,2 Ω

R_eq = R₁ + 7,2 = 12 + 7,2 = 19,2 Ω

Ответ

R_eq = 19,2 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,402 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 25 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 5,357 Ω

R₃ + 5,357 = 10,36 Ω

R₂ ∥ 10,36 = 5,559 Ω

R_eq = R₁ + 5,559 = 3 + 5,559 = 8,559 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,559 = 1,402 A

Ответ

I_R1 = 1,402 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,535 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms

Выразите время

0,1 = 1·e^−t/τ → t = τ·ln(1/0,1)

t = 0,6667·ln(10) = 1,535 ms

Ответ

t = 1,535 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 155,5 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 12 + (6 − 12)·e^−t/τ

Выразите время

9 = 12 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9 − 12)/(6 − 12) = 0,5

t = τ·ln((6 − 12)/(9 − 12)) = 224,4·ln(2) = 155,5 ms

Ответ

t = 155,5 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 36 µT

Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.

Поле каждого провода в точке P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·12/0,1 = 24 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·30/0,1 = 60 µT

Объедините

B = |B₁ − B₂| = 36 µT

Ответ

B = 36 µT

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 98,7 µJ

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 31,58 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·3,158 × 10⁻⁵·2,5² = 9,87 × 10⁻⁵ J = 98,7 µJ

Ответ

W = 98,7 µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 10,13 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·10·10⁻⁶) = 10,13 mH

Ответ

L = 10,13 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 159,2 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·1·10⁻⁶)) = 711,8 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,05/(1·10⁻⁶)) = 4,472

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 711,8/4,472 = 159,2 Hz

Ответ

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism