Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +5 µC и заряд −3 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 30 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +5 µCq₂ = −3 µCr₁ = 30 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 2,5 × 10⁷ m/s. Длина пластин 6 cm, напряжённость поля между ними 4600 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

V_s = 10 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µF

τ = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 25 ms.

V_s = 24 VR = 4,7 kΩC = 10 µFv_C(0) = 8 Vt = 25 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется вниз по странице в однородном магнитном поле, направленном из плоскости страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на него.

v: вниз по страницеB: из плоскости страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 2000 витков, длину 50 cm и диаметр 1,5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 2000l = 50 cm⌀ = 1,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 10 µF должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 2000 HzC = 10 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 799111 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,3² = 499444 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,3² = 299667 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |499444 + 299667| = 799111 N/C

Ответ

E = 799111 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 2,33 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,06/2,5 × 10⁷ = 2,4 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4600/9,109 × 10⁻³¹ = 8,09 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·8,09 × 10¹⁴·(2,4 × 10⁻⁹)² = 0,00233 m = 2,33 mm

Ответ

y = 2,33 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 16,88 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 2 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω

R_eq = R₁ + 1,875 = 15 + 1,875 = 16,88 Ω

Ответ

R_eq = 16,88 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3576 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 4 + 25 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 6,27 Ω

R₃ + 6,27 = 36,27 Ω

R₂ ∥ 36,27 = 10,61 Ω

R_eq = R₁ + 10,61 = 25 + 10,61 = 35,61 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/35,61 = 0,5055 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,5055·25 = 5,364 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,364/15 = 0,3576 A

Ответ

I_R2 = 0,3576 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 151,1 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·3,3/(6,8 + 3,3) = 2,222 kΩ

v_C(∞) = 10·3,3/(6,8 + 3,3) = 3,267 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 2,222·68 = 151,1 ms

Ответ

τ = 151,1 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 14,6 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms

v_C(t) = 24 + (8 − 24)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(25) = 24 + (−16)·e^−25/47 = 14,6 V

Ответ

v_C = 14,6 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: влево

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

v: вниз по странице, B: из плоскости страницы

Направление силы

влево

Ответ

F: влево

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 1,777 mH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Поперечное сечение

A = π·(0,0075)² = 0,0001767 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,0001767/0,5 = 0,001777 H = 1,777 mH

Ответ

L = 1,777 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 0,6333 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·10·10⁻⁶) = 0,6333 mH

Ответ

L = 0,6333 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,158 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 6,589 − j12,42 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 10 + 6,589 − j12,42 = 16,59 − j12,42 Ω

|Z| = √(16,59² + 12,42²) = 20,72 Ω

Ток

I = V/|Z| = 24/20,72 = 1,158 A

Ответ

I = 1,158 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism