Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +5 µC и +4 µC находятся на расстоянии 80 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +5 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +5 µCq₂ = +4 µCd = 80 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +3 µC и −3 µC находятся на расстоянии 8 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 8 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 8 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 60 ms.

V_s = 20 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 33 µFt = 60 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 9 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 4,5 V, ровно через 1000 ms после старта. При C = 4,7 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 9 VV_th = 4,5 VT = 1000 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 25 cm скользит со скоростью 6 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,6 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 2,5 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите мощность P, рассеиваемую в резисторе.

B = 0,6 TL = 25 cmv = 6 m/sR = 2,5 Ω

P = mW

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Короткая катушка из 20 витков плотно намотана на середину длинного соленоида из 1000 витков длиной 25 cm и диаметром 2 cm. Ток в соленоиде меняется со скоростью 10 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую в короткой катушке.

N₁ = 1000N₂ = 20l = 25 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = µV

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 24 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 42,23 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

5/x² = 4/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(4/5) = 0,8944

Положение

x = 80/(1 + 0,8944) = 42,23 cm

Ответ

x = 42,23 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 3,015 × 10⁶ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(4² + 8²) = 8,944 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,08944² = 3,371 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3,371 × 10⁶·0,4472 = 3,015 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 3,015 × 10⁶ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,909 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_eq = R₁ + 2,857 = 5 + 2,857 = 7,857 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7,857 = 1,909 A

Ответ

I_R1 = 1,909 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,5236 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 4 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 7,355 Ω

R₃ + 7,355 = 19,35 Ω

R₂ ∥ 19,35 = 6,593 Ω

R_eq = R₁ + 6,593 = 6 + 6,593 = 12,59 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12,59 = 0,7941 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,7941·6 = 5,236 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,236/10 = 0,5236 A

Ответ

I_R2 = 0,5236 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 2,929 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6,8/(10 + 6,8) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 20·6,8/(10 + 6,8) = 8,095 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 4,048·33 = 133,6 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 8,095·(1 − e^−60/133,6) = 2,929 V

Ответ

v_C = 2,929 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 307 kΩ

Требуемая постоянная времени

4,5 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 4,5))

τ = 1000/0,6931 = 1443 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 1443/4,7 = 307 kΩ

Ответ

R = 307 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: P = 324 mW

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,6·0,25·6 = 0,9 V

Ток

I = ε/R = 0,9/2,5 = 0,36 A

Мощность

P = εI = 0,9·0,36 = 0,324 W

Ответ

P = 324 mW

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 315,8 µV

Взаимная индуктивность

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·20·0,0003142/0,25 = 31,58 µH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 3,158 × 10⁻⁵·10 = 315,8 µV

Ответ

ε = 315,8 µV

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 17,5 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 12/20 = 0,6 A

I_X = V/X_C = 12/36,17 = 0,3318 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,6² + 0,3318²) = 0,6856 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 12/0,6856 = 17,5 Ω

Ответ

|Z| = 17,5 Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 52,19 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1,6 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 6523·0,005 = 32,62 Ω

V_L = I·X_L = 1,6·32,62 = 52,19 V

Ответ

V_L = 52,19 V

Это в Q = 2,174 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism