Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +3 µC и +8 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +3 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +8 µCd = 60 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +3 µC и −3 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 6 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 20 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

V_s = 10 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 33 µF

τ = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i₂ через R₂ при t = 120 ms.

V_s = 9 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 120 ms

i₂ = mA

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 100 витков имеет площадь 25 cm². Катушка находится в однородном поле 0,2 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 200 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 100A = 25 cm²B = 0,2 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 100 витков размером 12 cm × 10 cm вращается с частотой 1500 rpm в однородном поле 0,2 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 100A = 12 cm × 10 cmB = 0,2 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 20 mH

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 22,79 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

3/x² = 8/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(8/3) = 1,633

Положение

x = 60/(1 + 1,633) = 22,79 cm

Ответ

x = 22,79 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 3,401 × 10⁶ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(10² + 6²) = 11,66 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1166² = 1,983 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,983 × 10⁶·0,8575 = 3,401 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 3,401 × 10⁶ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 27,64 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 12·21/(12+21) = 7,636 Ω

R_eq = R₁ + 7,636 = 20 + 7,636 = 27,64 Ω

Ответ

R_eq = 27,64 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,09836 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 6 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 5,143 Ω

R₃ + 5,143 = 7,143 Ω

R₂ ∥ 7,143 = 5,556 Ω

R_eq = R₁ + 5,556 = 8 + 5,556 = 13,56 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/13,56 = 0,4426 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,4426·8 = 2,459 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,459/25 = 0,09836 A

Ответ

I_R2 = 0,09836 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 28,77 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·1/(6,8 + 1) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 10·1/(6,8 + 1) = 1,282 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,8718·33 = 28,77 ms

Ответ

τ = 28,77 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i₂ = 0,5242 mA

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 9·10/(3,3 + 10) = 6,767 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 10·47 = 470 ms

Разряд

v_C(t) = 6,767·e^−120/470 = 5,242 V

i₂ = v_C/R₂ = 5,242/10 = 0,5242 mA

Ответ

i₂ = 0,5242 mA

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 250 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,2·0,0025 = 0,0005 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0005/0,2 = 0,25 V

Ответ

ε = 250 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 26,66 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

A = 0,012 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 100·0,2·0,012·157,1 = 37,7 V

Действующее значение

E_rms = 37,7/√2 = 26,66 V

Ответ

E_rms = 26,66 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 13,68 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·60·0,02 = 7,54 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/30 = 3,333 A

I_X = V/X_L = 100/7,54 = 13,26 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3,333² + 13,26²) = 13,68 A

Ответ

I = 13,68 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 13,75 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·4,7·10⁻⁶) = 1031 rad/s

I = V/R = 1/15 = 0,06667 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 1031·0,2 = 206,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,06667·206,3 = 13,75 V

Ответ

V_L = 13,75 V

Это в Q = 13,75 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism