Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: −4 µC слева, −4 µC справа на расстоянии 40 cm и −6 µC между ними, на расстоянии 24 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −4 µCq_R = −4 µCq_M = −6 µCr_L = 24 cmr_R = 16 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +3 µC и +3 µC находятся на расстоянии 12 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 6 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 12 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 68 µFv_C(0) = 3 Vt = 200 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 250 витков имеет площадь 10 cm². Катушка находится в однородном поле 0,2 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 50 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 250A = 10 cm²B = 0,2 TΔt = 50 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 50 витков размером 20 cm × 25 cm вращается с частотой 300 rpm в однородном поле 0,4 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите амплитудную ЭДС E₀.

N = 50A = 20 cm × 25 cmB = 0,4 Tn = 300 rpm

E₀ = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 2 mH должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 2000 HzL = 2 mH

C = µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 4,682 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = +k·4·6 × 10⁻¹²/0,24² = 3,746 N

F_R = −k·4·6 × 10⁻¹²/0,16² = −8,428 N

Результирующая сила

F = 3,746 + (−8,428) = −4,682 N → |F| = 4,682 N

Ответ

F = 4,682 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 5,297 × 10⁶ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(6² + 6²) = 8,485 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,08485² = 3,746 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·3,746 × 10⁶·0,7071 = 5,297 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 5,297 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,432 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 4·6/(4+6) = 2,4 Ω

R_eq = R₁ + 2,4 = 5 + 2,4 = 7,4 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/7,4 = 2,432 A

Ответ

I_R1 = 2,432 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 27,64 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 6 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 2,182 Ω

R₃ + 2,182 = 22,18 Ω

R₂ ∥ 22,18 = 2,643 Ω

R_eq = R₁ + 2,643 = 25 + 2,643 = 27,64 Ω

Ответ

R_eq = 27,64 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1088 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

i(∞) = V_s/R = 15/68 = 0,2206 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2206·(1 − e^−1/1,471) = 0,1088 A

Ответ

i = 0,1088 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 4,395 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 68 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 6 + (3 − 6)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(200) = 6 + (−3)·e^−200/319,6 = 4,395 V

Ответ

v_C = 4,395 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 1 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,2·0,001 = 0,0002 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0002/0,05 = 1 V

Ответ

ε = 1 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E₀ = 31,42 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

A = 0,05 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 50·0,4·0,05·31,42 = 31,42 V

Ответ

E₀ = 31,42 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 3,166 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,002) = 3,166 µF

Ответ

C = 3,166 µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1326 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (67,72)²) = 90,48 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/90,48 = 0,1326 A

Ответ

I = 0,1326 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism