Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +3 µC и +1 µC находятся на расстоянии 100 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +3 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +1 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 2 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 100 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 8° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 100 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 5 ms.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 10 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 750 ms.

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 220 µFv_C(0) = 10 Vt = 750 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется со скоростью 2 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 1 T. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sB = 1 T

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 50 витков размером 10 cm × 10 cm вращается в однородном поле 0,05 T вокруг оси, перпендикулярной полю. С какой скоростью n (в оборотах в минуту) она должна вращаться, чтобы действующее значение ЭДС составляло 3,332 V?

N = 50A = 10 cm × 10 cmB = 0,05 TE_rms = 3,332 V

n = rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 2 Ω, L = 50 mH и C = 10 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 2 ΩL = 50 mHC = 10 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 63,4 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

3/x² = 1/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(1/3) = 0,5774

Положение

x = 100/(1 + 0,5774) = 63,4 cm

Ответ

x = 63,4 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 154,2 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 8° = 0,002757 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 8° = 0,2783 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2783·√(0,002757/8,99 × 10⁹) = 1,542 × 10⁻⁷ C = 154,2 nC

Ответ

q = 154,2 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 6,875 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 2·30/(2+30) = 1,875 Ω

R_eq = R₁ + 1,875 = 5 + 1,875 = 6,875 Ω

Ответ

R_eq = 6,875 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 33,63 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 25 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 5,217 Ω

R₃ + 5,217 = 9,217 Ω

R₂ ∥ 9,217 = 3,634 Ω

R_eq = R₁ + 3,634 = 30 + 3,634 = 33,63 Ω

Ответ

R_eq = 33,63 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 0,985 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−5/2 = 0,985 V

Ответ

v_L = 0,985 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 12,89 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms

v_C(t) = 20 + (10 − 20)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(750) = 20 + (−10)·e^−750/2200 = 12,89 V

Ответ

v_C = 12,89 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 2,089 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1) = 0,02089 m = 2,089 cm

Ответ

r = 2,089 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: n = 1800 rpm

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Амплитудная ЭДС

E₀ = √2·E_rms = 4,712 V

Угловая скорость

ω = E₀/(NBA) = 4,712/(50·0,05·0,01) = 188,5 rad/s

Обороты в минуту

n = 60·188,5/(2π) = 1800 rpm

Ответ

n = 1800 rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 85,3 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (243,4)²) = 244,2 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(243,4/20) = 85,3°

Ответ

φ = 85,3°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 6,366 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,05/(10·10⁻⁶)) = 35,36

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 225,1/35,36 = 6,366 Hz

Ответ

B = 6,366 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism