Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: −5 µC слева, +3 µC справа на расстоянии 30 cm и +2 µC между ними, на расстоянии 18 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −5 µCq_R = +3 µCq_M = +2 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 8 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 3 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 1 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 500 ms.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 Vt = 500 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 100 витков имеет площадь 80 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,8 T, перпендикулярном её плоскости, за 200 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 100A = 80 cm²B = 0,8 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 100 витков, длину 50 cm и диаметр 1 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 2,5 A.

N = 100l = 50 cm⌀ = 1 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 100 Ω, L = 5 mH и C = 0,22 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 100 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 6,521 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = −k·5·2 × 10⁻¹²/0,18² = −2,775 N

F_R = −k·3·2 × 10⁻¹²/0,12² = −3,746 N

Результирующая сила

F = −2,775 + (−3,746) = −6,521 N → |F| = 6,521 N

Ответ

F = 6,521 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 252,7 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

F₂ = k·1·8 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

Векторная сумма

F = √(239,7² + 79,91²) = 252,7 N

Ответ

F = 252,7 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,557 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1,789 Ω

R_eq = R₁ + 1,789 = 12 + 1,789 = 13,79 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,79 = 1,74 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,74·12 = 3,115 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,115/2 = 1,557 A

Ответ

I_R2 = 1,557 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 11,78 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 6 + 12 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 7,2 Ω

R₃ + 7,2 = 10,2 Ω

R₂ ∥ 10,2 = 3,778 Ω

R_eq = R₁ + 3,778 = 8 + 3,778 = 11,78 Ω

Ответ

R_eq = 11,78 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 0,1973 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,2·(1 − e^−1/0,2) = 0,1987 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·10·0,1987² = 0,1973 mJ

Ответ

W = 0,1973 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 8,966 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 24 + (3 − 24)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(500) = 24 + (−21)·e^−500/1496 = 8,966 V

Ответ

v_C = 8,966 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 6,4 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,8·0,008 = 0,0128 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0128/0,2 = 6,4 V

Ответ

ε = 6,4 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 6,169 µJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 1,974 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·1,974 × 10⁻⁶·2,5² = 6,169 × 10⁻⁶ J = 6,169 µJ

Ответ

W = 6,169 µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 3,649 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−18,74)²) = 27,41 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/27,41 = 3,649 A

Ответ

I = 3,649 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 3183 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,22·10⁻⁶)) = 4799 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,005/(0,22·10⁻⁶)) = 1,508

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 4799/1,508 = 3183 Hz

Ответ

B = 3183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism