Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +8 µC и заряд −4 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 24 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +8 µCq₂ = −4 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 8 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 5 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 25 V? Найдите t.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Электрон движется со скоростью 6 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 2,5 mT. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 2,5 mT

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 50 витков размером 20 cm × 25 cm вращается с частотой 3600 rpm в однородном поле 0,25 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 50A = 20 cm × 25 cmB = 0,25 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF

cos φ =

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 2 Ω, L = 2 mH и C = 0,47 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 2 ΩL = 2 mHC = 0,47 µF

Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,526 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,24² = 1,249 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,36² = 277469 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |1,249 × 10⁶ + 277469| = 1,526 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,526 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 45,17 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·8·1 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N

F₂ = k·5·1 × 10⁻¹²/0,1² = 4,495 N

Векторная сумма

F = √(44,95² + 4,495²) = 45,17 N

Ответ

F = 45,17 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,713 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7,059 Ω

R_eq = R₁ + 7,059 = 4 + 7,059 = 11,06 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11,06 = 2,713 A

Ответ

I_R1 = 2,713 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,609 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 22,5 Ω

R₂ ∥ 22,5 = 5,902 Ω

R_eq = R₁ + 5,902 = 5 + 5,902 = 10,9 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/10,9 = 0,8256 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,8256·5 = 4,872 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,872/8 = 0,609 A

Ответ

I_R2 = 0,609 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,08111 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0,1 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1·(1 − e^−5/3) = 0,08111 A

Ответ

i = 0,08111 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 221,5 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

Выразите время

25 = 20 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (25 − 20)/(30 − 20) = 0,5

t = τ·ln((30 − 20)/(25 − 20)) = 319,6·ln(2) = 221,5 ms

Ответ

t = 221,5 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 1,365 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 9,109 × 10⁻³¹·6 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,0025) = 0,01365 m = 1,365 cm

Ответ

r = 1,365 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 166,6 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,05 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 50·0,25·0,05·377 = 235,6 V

Действующее значение

E_rms = 235,6/√2 = 166,6 V

Ответ

E_rms = 166,6 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,8665

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 125,7 Ω, X_C = 79,58 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(80² + (46,09)²) = 92,33 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 80/92,33 = 0,8665

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,8665

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 32,62

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,47·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,002/(0,47·10⁻⁶)) = 32,62

Ответ

Q = 32,62

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism