Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +1 µC и +6 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +1 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +1 µCq₂ = +6 µCd = 50 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 3 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 60 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 10° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 60 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 95% конечного значения? Найдите t.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 19,5 V? Найдите t.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 10 витков имеет площадь 10 cm². Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,05 T до 0,15 T за 250 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 10A = 10 cm²B: 0,05 T → 0,15 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Дейтрон проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 2 × 10⁵ V/m и B₁ = 0,25 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 0,4 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,25 TB₂ = 0,4 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 14,49 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

1/x² = 6/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(6/1) = 2,449

Положение

x = 50/(1 + 2,449) = 14,49 cm

Ответ

x = 14,49 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 158,3 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 10° = 0,005189 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 10° = 0,2084 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2084·√(0,005189/8,99 × 10⁹) = 1,583 × 10⁻⁷ C = 158,3 nC

Ответ

q = 158,3 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,8654 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 4 + 5,455 = 9,455 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9,455 = 1,904 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,904·4 = 10,38 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,38/12 = 0,8654 A

Ответ

I_R2 = 0,8654 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,301 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 25 = 55 Ω

R₄ ∥ 55 = 17,19 Ω

R₃ + 17,19 = 21,19 Ω

R₂ ∥ 21,19 = 7,661 Ω

R_eq = R₁ + 7,661 = 10 + 7,661 = 17,66 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/17,66 = 2,038 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,038·10 = 15,62 V

I_R2 = V_A/R₂ = 15,62/12 = 1,301 A

Ответ

I_R2 = 1,301 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 4,394 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1,6 A

Выразите время

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −1,467·ln(0,05) = 4,394 ms

Ответ

t = 4,394 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 325,8 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

Выразите время

19,5 = 9 + (21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (19,5 − 9)/(30 − 9) = 0,5

t = τ·ln((30 − 9)/(19,5 − 9)) = 470·ln(2) = 325,8 ms

Ответ

t = 325,8 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 4 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,15 − 0,05)·0,001 = 0,0001 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0001/0,25 = 0,004 V

Ответ

ε = 4 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 4,175 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,25 = 800000 m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B₂) = 0,04175 m = 4,175 cm

Ответ

r = 4,175 cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,476 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (54,87)²) = 81,31 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/81,31 = 1,476 A

Ответ

I = 1,476 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 10,84 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−144,2)²) = 156,2 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/156,2 = 0,06403 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,06403·169,3 = 10,84 V

Ответ

V_C = 10,84 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism