Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +3 µC и заряд +1 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 18 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +3 µCq₂ = +1 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 3 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 4 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 4 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 80% конечного значения? Найдите t.

V_s = 24 VR = 68 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 30 ms.

V_s = 10 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 2 Vt = 30 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 20 витков имеет площадь 150 cm². Катушка находится в однородном поле 0,8 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 200 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 20A = 150 cm²B = 0,8 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Короткая катушка из 20 витков плотно намотана на середину длинного соленоида из 2000 витков длиной 20 cm и диаметром 2 cm. Найдите их взаимную индуктивность M.

N₁ = 2000N₂ = 20l = 20 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 20 mH должен резонировать на частоте 1000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 1000 HzL = 20 mH

C = µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 22 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 208102 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,18² = 832407 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,12² = 624306 N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |832407 − 624306| = 208102 N/C

Ответ

E = 208102 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 18,46 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,06² = 14,98 N

F₂ = k·4·3 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N

Векторная сумма

F = √(14,98² + 10,79²) = 18,46 N

Ответ

F = 18,46 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 17,74 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω

R_eq = R₁ + 5,739 = 12 + 5,739 = 17,74 Ω

Ответ

R_eq = 17,74 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,6214 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 30 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 8 Ω

R₃ + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 10,43 Ω

R_eq = R₁ + 10,43 = 3 + 10,43 = 13,43 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,43 = 1,786 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,786·3 = 18,64 V

I_R2 = V_A/R₂ = 18,64/30 = 0,6214 A

Ответ

I_R2 = 0,6214 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,112 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0,6912 ms

i(∞) = V_s/R = 24/68 = 0,3529 A

Выразите время

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −0,6912·ln(0,2) = 1,112 ms

Ответ

t = 1,112 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 6,777 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(30) = 10 + (−8)·e^−30/33 = 6,777 V

Ответ

v_C = 6,777 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 1,2 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,8·0,015 = 0,012 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,012/0,2 = 1,2 V

Ответ

ε = 1,2 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: M = 78,96 µH

Взаимная индуктивность

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·20·0,0003142/0,2 = 78,96 µH

Ответ

M = 78,96 µH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 1,267 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,02) = 1,267 µF

Ответ

C = 1,267 µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 9,03 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (53,32)²) = 96,14 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/96,14 = 0,1248 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,1248·72,34 = 9,03 V

Ответ

V_C = 9,03 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism