Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +10 µC и заряд −2 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 30 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +10 µCq₂ = −2 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 10 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 2 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 2 ms.

V_s = 12 VR₁ = 47 ΩR₂ = 47 ΩL = 150 mHt = 2 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется со скоростью 8 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 0,2 T. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sB = 0,2 T

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Ток в катушке индуктивностью 80 mH равномерно меняется от 0,5 A до 3,5 A за 5 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 80 mH0,5 A → 3,5 AΔt = 5 ms

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,797 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |998889 + 1,798 × 10⁶| = 2,797 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 2,797 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 183,4 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·10·5 × 10⁻¹²/0,05² = 179,8 N

F₂ = k·2·5 × 10⁻¹²/0,05² = 35,96 N

Векторная сумма

F = √(179,8² + 35,96²) = 183,4 N

Ответ

F = 183,4 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 3,189 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3,407 Ω

R_eq = R₁ + 3,407 = 6 + 3,407 = 9,407 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,407 = 3,189 A

Ответ

I_R1 = 3,189 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,583 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 4 + 6 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 6,667 Ω

R₃ + 6,667 = 11,67 Ω

R₂ ∥ 11,67 = 7,368 Ω

R_eq = R₁ + 7,368 = 4 + 7,368 = 11,37 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/11,37 = 1,583 A

Ответ

I_R1 = 1,583 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1454 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1915·(1 − e^−1/0,7021) = 0,1454 A

Ответ

i = 0,1454 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1641 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 12/47 = 0,2553 A

i(∞) = 12/(47 + 47) = 0,1277 A

τ = L/R = 150/94 = 1,596 ms

i(t) = 0,1277 + (0,2553 − 0,1277)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(2) = 0,1277 + (0,1277)·e^−2/1,596 = 0,1641 A

Ответ

i = 0,1641 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 41,77 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,2) = 0,4177 m = 41,77 cm

Ответ

r = 41,77 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 48 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,08·3/0,005 = 48 V

Ответ

ε = 48 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 65,88 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (89,35)²) = 97,9 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(89,35/40) = 65,88°

Ответ

φ = 65,88°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 156,5 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (46,09)²) = 61,02 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/61,02 = 1,966 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 1,966·79,58 = 156,5 V

Ответ

V_C = 156,5 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism