Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +8 µC и заряд −3 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +8 µCq₂ = −3 µCr₁ = 5 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 8 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 40 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 10° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 40 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 9 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 7,2 V, ровно через 10 ms после старта. При C = 4,7 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 10 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется со скоростью 4 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 0,8 T. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 0,8 T

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 10 mH и 20 mH имеют коэффициент связи 0,4. Ток в первой катушке меняется со скоростью 1000 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 10 mHL₂ = 20 mHk = 0,4di/dt = 1000 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 1 mH должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 2000 HzL = 1 mH

C = µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,997 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |2,877 × 10⁷ + 1,199 × 10⁶| = 2,997 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 2,997 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 172,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 10° = 0,01384 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 10° = 0,1389 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1389·√(0,01384/8,99 × 10⁹) = 1,724 × 10⁻⁷ C = 172,4 nC

Ответ

q = 172,4 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,4 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 5 + 7,5 = 12,5 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/12,5 = 2,4 A

Ответ

I_R1 = 2,4 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 27,96 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 12,98 Ω

R₃ + 12,98 = 16,98 Ω

R₂ ∥ 16,98 = 7,965 Ω

R_eq = R₁ + 7,965 = 20 + 7,965 = 27,96 Ω

Ответ

R_eq = 27,96 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 2,881 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/3,03 = 2,881 V

Ответ

v_L = 2,881 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 1,322 kΩ

Требуемая постоянная времени

7,2 = 9·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 10/1,609 = 6,213 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 6,213/4,7 = 1,322 kΩ

Ответ

R = 1,322 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 5,222 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,8) = 0,05222 m = 5,222 cm

Ответ

r = 5,222 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 5,657 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = 0,4·√(10·20) = 5,657 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,005657·1000 = 5,657 V

Ответ

ε = 5,657 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 6,333 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,001) = 6,333 µF

Ответ

C = 6,333 µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 44,72 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,1·10⁻⁶) = 44721 rad/s

I = V/R = 1/5 = 0,2 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 44721·0,005 = 223,6 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·223,6 = 44,72 V

Ответ

V_L = 44,72 V

Это в Q = 44,72 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism