Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 240 km/h, а длина полосы 900 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 35 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 28 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 35 mv_0B = 28 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 40 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 170 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 40 kgF = 170 Nθ = 35°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 7,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 7,5 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s под углом 55° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 37 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 36 m/sθ = 55°x = 37 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 20 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 20 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 110 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,4. Найдите тормозной путь d.

v = 110 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,1). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 1 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgμ = 0,1d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 20 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 20 m/sv_out = 17 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 150 mm и диаметром горловины 100 mm. Давление на входе на 19 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 200 mm, горловина 100 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 270 mm. Коэффициент расхода равен 0,96. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 270 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 200 g газа (O₂) при 250 kPa и 80 °C? Считайте газ идеальным.

m = 200 gM = 32 g/molP = 250 kPaT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (CH₄) переходит от 100 kPa, 10 L, 40 °C к 250 kPa и 140 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 140 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 1600 kJ теплоты от резервуара при 800 °C и отдаёт 474 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 800 °CQ_H = 1600 kJQ_L = 474 kJ

T_L = °C

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере -20 °C на кухне при 35 °C, отводя из камеры теплоту 4,5 kW. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 35 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 4,5 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый громкоговоритель излучает звуковую мощность 0,1 W одинаково во все стороны. Найдите уровень интенсивности звука β на расстоянии 20 m.

P = 0,1 Wr = 20 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 30 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 20 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 30 cmR = 20 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 2,469 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·900) = 2,469 m/s²

Ответ

a = 2,469 m/s²

2.Кинематика

Ответ: y = 27,34 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

35 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 35/28 = 1,25 s

Высота встречи

y = 28·1,25 − ½·9,81·1,25² = 27,34 m

Ответ

y = 27,34 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,5325 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 170·sin 35° = 294,9 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 139,3 − 118

a = 21,3/40 = 0,5325 m/s²

Ответ

a = 0,5325 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 17,61 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 5,033 N

μ·m₁·g·cos θ = 1,383 N

Ускорение системы

a = (73,58 − 5,033 − 1,383)/9 = 7,462 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 7,5·(9,81 − 7,462) = 17,61 N

Ответ

T = 17,61 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 37,09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 36·cos 55° = 20,65 m/s

t = x/v_x = 37/20,65 = 1,792 s

Высота в этот момент

y = 29,49·1,792 − ½·9,81·1,792² = 37,09 m

Ответ

y = 37,09 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 73,79 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 20·cos 60° = 10 m/s

v_y0 = 20·sin 60° = 17,32 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(17,32² + 2·9,81·45) = 34,39 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 34,39/10 → α = 73,79°

Ответ

α = 73,79°

7.Работа и энергия

Ответ: d = 119 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,4·9,81) = 119 m

Ответ

d = 119 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

8.Работа и энергия

Ответ: v = 1,808 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 9,81·2 = 19,62 J

μ·m₁g·d = 0,1·49,05·2 = 9,81 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 9,81 → v = √(2·9,81/6) = 1,808 m/s

Ответ

v = 1,808 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 11,2 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 4)/(3,5 + 4)·12 = −0,8 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 4)·12 = 11,2 m/s

Ответ

v′₂ = 11,2 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 740 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(17 + 20) = 18,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 18,5/0,025 = 740 N

Ответ

F_avg = 740 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 44,15 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Ответ

F = 44,15 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 259,6 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·6 = 259,6 kN

Ответ

F = 259,6 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 54,05 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(100/150)² = 0,4444·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·19000/(1000·(1 − 0,1975))) = 6,881 m/s

v₁ = 3,058 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,007854·6,881 = 0,05405 m³/s = 54,05 L/s

Ответ

Q = 54,05 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 63,62 L/s

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,27 = 33374 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 100/200 = 0,5

v₂ = √(2·33374/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,438 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,007854·8,438 = 0,06362 m³/s = 63,62 L/s

Ответ

Q = 63,62 L/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 73,4 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 200/32 = 6,25 mol

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Объём

V = nRT/P = 6,25·8,314·353,1/250 = 73,4 L

Ответ

V = 73,4 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 5,277 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 313,1 K, T₂ = 413,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/250)·(413,1/313,1) = 5,277 L

Ответ

V₂ = 5,277 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 44,77 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1073·474/1600 = 317,9 K = 44,77 °C

Ответ

T_L = 44,77 °C

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,9777 kW

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253,1/(308,1 − 253,1) = 4,603

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4,5/4,603 = 0,9777 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,9777 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 72,99 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Интенсивность

I = P/(4πr²) = 1,989 × 10⁻⁵ W/m²

Уровень

β = 10·log₁₀(1,989 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 72,99 dB

Ответ

β = 72,99 dB

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 15 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 10 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/30

d_i = 15 cm

Ход лучей

действительное изображение перед зеркалом

Ответ

d_i = 15 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers