Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 8 s, затем движется с постоянной скоростью 19 s и, наконец, тормозит с замедлением 4,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 19 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 5 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 50 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 5 kgF = 50 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 55 N тянет передний брусок массой 3 kg; брусок массой 1 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgF = 55 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 20 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 37 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 4 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 37 m/sθ = 65°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,2 kg висит на лёгкой нити длиной 3 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 70° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,2 kgL = 3 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 3000 N/m у основания наклонной плоскости 35° сжимают на 5 cm бруском массой 1 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 5 cmθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 8 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 8 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 20 mm. Уровень воды поддерживается на 1 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,62. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 1 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Сопло фонтана направлено вертикально вверх. Непосредственно под соплом подводящая труба имеет диаметр 100 mm и избыточное давление 40 kPa. Выходной диаметр сопла 30 mm, разностью высот по длине сопла можно пренебречь. Пренебрегая потерями и сопротивлением воздуха, найдите высоту H, на которую струя поднимается над соплом. Примите g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 40 kPa (избыточное)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 20 L содержит 190 g газа (CH₄) при 25 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 190 gM = 16,04 g/molV = 20 LT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (Ar) переходит от 150 kPa, 2 L, 35 °C к 600 kPa и 190 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 2 LT₁ = 35 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 3600 kJ теплоты от резервуара при 275 °C и отдаёт 1794 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 275 °CQ_H = 3600 kJQ_L = 1794 kJ

T_L = °C

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере 5 °C на кухне при 28 °C, отводя из камеры теплоту 3 kW. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 28 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Струна, закреплённая с обоих концов имеет длину 1,5 m; волны бегут по ней со скоростью 300 m/s. Найдите частоту f₂ для режима: гармоника номер 2.

v = 300 m/sn = 2L = 1,5 m

f₂ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 10 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 24 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 10 cmR = 24 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 6,667 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/5 = 6,667 s

Ответ

t = 6,667 s

2.Кинематика

Ответ: s = 504,4 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·8 = 20 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2,5·8² = 80 m

s₂ = 20·19 = 380 m

s₃ = 20²/(2·4,5) = 44,44 m

Полный путь

s = 80 + 380 + 44,44 = 504,4 m

Ответ

s = 504,4 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,377 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 49,05 − 50·sin 35° = 20,37 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 40,96 − 4,074

a = 36,88/5 = 7,377 m/s²

Ответ

a = 7,377 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 12,77 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 3,924)/4 = 12,77 m/s²

Ответ

a = 12,77 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 26,21 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18,79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6,84 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·6,84/9,81 = 1,395 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,79·1,395 = 26,21 m

Ответ

x = 26,21 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 105 m

Разложите начальную скорость

v_x = 15,64 m/s, v_y = 33,53 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

4 = 33,53·t − 4,905·t²

t = (33,53 + √(33,53² − 2·9,81·4))/9,81 = 6,715 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15,64·6,715 = 105 m

Ответ

x = 105 m

7.Работа и энергия

Ответ: T = 4,544 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 70°) = 38,73 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·38,73/3 = 4,544 N

Ответ

T = 4,544 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 4,544 N.

8.Работа и энергия

Ответ: d = 0,5489 m

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·3000·0,05² = 3,75 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3,75/(9,81·(0,5736 + 0,15·0,8192)) = 0,5489 m

Ответ

d = 0,5489 m

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,8 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 4)/(3,5 + 4)·12 = −0,8 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 4)·12 = 11,2 m/s

Ответ

v′₁ = −0,8 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 500 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(12 + 8) = 5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 5/0,01 = 500 N

Ответ

F_avg = 500 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 121,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Ответ

F = 121,4 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 284,9 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,5·6 = 284,9 kN

Ответ

F = 284,9 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 0,8628 L/s

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,0003142·4,429 = 0,0008628 m³/s = 0,8628 L/s

Ответ

Q = 0,8628 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: H = 4,111 m

Скорость на выходе

β = 30/100 = 0,3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9919)) = 8,981 m/s

Высота струи

Уравнение Бернулли вдоль струи: в верхней точке скорость равна нулю, а давление снова атмосферное.

H = v₂²/(2g) = 8,981²/(2·9,81) = 4,111 m

Ответ

H = 4,111 m

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 1468 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 190/16,04 = 11,85 mol

T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Давление

P = nRT/V = 11,85·8,314·298,1/0,02 = 1468 kPa

Ответ

P = 1468 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 0,7515 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 308,1 K, T₂ = 463,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(150/600)·(463,1/308,1) = 0,7515 L

Ответ

V₂ = 0,7515 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 0,01142 °C

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 275 + 273,15 = 548,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 548,1·1794/3600 = 273,2 K = 0,01142 °C

Ответ

T_L = 0,01142 °C

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,2481 kW

Абсолютные температуры

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278,1/(301,1 − 278,1) = 12,09

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/12,09 = 0,2481 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,2481 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f₂ = 200 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·1,5/2 = 1,5 m

Частота

f = v/λ = 300/1,5 = 200 Hz

Ответ

f₂ = 200 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −60 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 12 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/10

d_i = −60 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −60 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers