Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 25 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 25 kgθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 38 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 12 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 12 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1200 kg въезжает на подъём 6° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 600 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1200 kgθ = 6°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 3 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 6 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 4,5 kgh = 6 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1400 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 900 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 8,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1400 kgm₂ = 900 kgd = 8,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 100 mm и диаметром горловины 50 mm. Давление на входе на 17 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 17 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 30 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 30 mm, расположенное на 2 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 30 kPa (избыточное)h = 2 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 50 g газа (CH₄) при 600 kPa и 70 °C? Считайте газ идеальным.

m = 50 gM = 16,04 g/molP = 600 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (He) при 650 kPa и 190 °C, считая его идеальным.

M = 4,003 g/molP = 650 kPaT = 190 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 400 °C и холодным при 25 °C. Она получает 4000 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 400 °CT_L = 25 °CQ_H = 4000 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере 2 °C на кухне при 32 °C, отводя из камеры теплоту 3,5 kW. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 32 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 3,5 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 10 m от него равен 75 dB. Найдите уровень β₂ на расстоянии 80 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β₁ = 75 dBr₁ = 10 mr₂ = 80 m

β₂ = dB

20.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 600 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 500 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 600 mm⁻¹λ = 500 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 21,43 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4,5) = 21,43 m

Ответ

s = 21,43 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,357 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,357 s

Ответ

t = 3,357 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 87,16 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 63,48 + 23,69 = 87,16 N

Ответ

F = 87,16 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,018 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 14,71)/13 = 3,018 m/s²

Ответ

a = 3,018 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 94,62 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 70° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 70° = 35,71 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·35,71/9,81 = 7,28 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 13·7,28 = 94,62 m

Ответ

x = 94,62 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 15,5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 12·sin 60° = 10,39 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 10,39²/(2·9,81) = 5,505 m

Высота над землёй

H = 10 + 5,505 = 15,5 m

Ответ

H = 15,5 m

7.Работа и энергия

Ответ: P = 27,46 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 6° = 1231 N

F = 1231 + 600 = 1831 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1831·15 = 27458 W = 27,46 kW

Ответ

P = 27,46 kW

8.Работа и энергия

Ответ: x = 14,15 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(3 − 0,1·4,5) = 25,02 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 25,02 → x = √(2·25,02/2500) = 0,1415 m = 14,15 cm

Ответ

x = 14,15 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v = 326,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,06) = 1,085 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 4,5)·1,085/0,015 = 326,6 m/s

Ответ

v = 326,6 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 18,98 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·8,5) = 11,55 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·11,55/1400 = 18,98 m/s

Ответ

v₁ = 18,98 m/s

(68,31 km/h)

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 264,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Ответ

F = 264,9 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 43,99 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·2,5 = 43,99 kN

Ответ

F = 43,99 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 11,82 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(50/100)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·17000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,022 m/s

v₁ = 1,506 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,001963·6,022 = 0,01182 m³/s = 11,82 L/s

Ответ

Q = 11,82 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 7,042 L/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(30000/1000 + 9,81·2)) = 9,962 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0007069·9,962 = 0,007042 m³/s = 7,042 L/s

Ответ

Q = 7,042 L/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 14,82 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 50/16,04 = 3,117 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Объём

V = nRT/P = 3,117·8,314·343,1/600 = 14,82 L

Ответ

V = 14,82 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 0,6757 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273,15 = 463,1 K

Плотность

ρ = 650·4,003/(8,314·463,1) = 0,6757 kg/m³

Ответ

ρ = 0,6757 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 2228 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/673,1 = 55,71 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,5571·4000 = 2228 kJ

Ответ

W_max = 2228 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,3816 kW

Абсолютные температуры

T_H = 32 + 273,15 = 305,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275,1/(305,1 − 275,1) = 9,172

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3,5/9,172 = 0,3816 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,3816 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: β₂ = 56,94 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (10/80)² = 0,01563

Новый уровень

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0,01563) = 56,94 dB

Ответ

β₂ = 56,94 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

20.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 3

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/600 mm = 1,667 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 1,667 µm/0,5 µm = 3,333 → m_max = 3

Ответ

m_max = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers