Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 11 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 3,5 m/s и останавливается через 1,6 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 3,5 m/sd = 1,6 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 11,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 11,5 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 23 m/s под углом 15° к горизонту с вершины обрыва высотой 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 23 m/sθ = 15°h = 15 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 2000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,05 kg, сжимают пружину на 8 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,05 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

8.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 12 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 4 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 12 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 26 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 11 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 26 m/sv_out = 11 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 35 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 200 mm до 150 mm. Давление в узком сечении равно 110 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 35 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 20 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 30 mm, расположенное на 2,5 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 20 kPa (избыточное)h = 2,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 100 g газа (CO₂) при 750 kPa и 45 °C? Считайте газ идеальным.

m = 100 gM = 44,01 g/molP = 750 kPaT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (Ar) при 750 kPa и 110 °C, считая его идеальным.

M = 39,95 g/molP = 750 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 750 °C и холодным при 25 °C. Она получает 4900 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 750 °CT_L = 25 °CQ_H = 4900 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Две машины Карно работают последовательно. Машина A получает теплоту от резервуара при 650 °C и отдаёт теплоту промежуточному резервуару при температуре T_m. Машина B забирает всю эту теплоту и отдаёт теплоту резервуару при 10 °C. Обе машины имеют одинаковый термический КПД. Найдите T_m в °C.

T_H = 650 °CT_L = 10 °C

T_m = °C

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 1 cm находится в 6 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 1 cmd_o = 6 cmf = 8 cm

h_i = cm

20.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 25 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 15 cm и линза 2 с f₂ = 15 cm. Предмет находится в 18 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 15 cmf₂ = 15 cms = 25 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 74,07 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7,5) = 74,07 m

Ответ

s = 74,07 m

2.Кинематика

Ответ: t = 2,937 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 11·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 11·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (11 + √(11² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,937 s

Ответ

t = 2,937 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,3902

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 3,5²/(2·1,6) = 3,828 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,828/9,81 = 0,3902

Ответ

μ = 0,3902

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 10,38 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 11,5²/(2·6,369) = 10,38 m

Ответ

d = 10,38 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 102,1 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29,44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·17/9,81 = 3,466 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 29,44·3,466 = 102,1 m

Ответ

x = 102,1 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 39,26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 23·cos 15° = 22,22 m/s

v_y0 = 23·sin 15° = 5,953 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(5,953² + 2·9,81·15) = 18,16 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 18,16/22,22 → α = 39,26°

Ответ

α = 39,26°

7.Работа и энергия

Ответ: h = 13,05 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·2000·0,08² = 6,4 J

Высота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 6,4/0,4905 = 13,05 m

Ответ

h = 13,05 m

8.Работа и энергия

Ответ: N = 4,905 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(12 − 8) = 78,48 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·78,48/4 − 4,905 = 4,905 N

Ответ

N = 4,905 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 6,364 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 3)/(2,5 + 3)·7 = −0,6364 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3)·7 = 6,364 m/s

Ответ

v′₂ = 6,364 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 925 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(11 + 26) = 9,25 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 9,25/0,01 = 925 N

Ответ

F_avg = 925 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 198,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN

Ответ

F = 198,7 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 30,17 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·1 = 30,17 kN

Ответ

F = 30,17 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 111,3 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,035/0,03142 = 1,114 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,035/0,01767 = 1,981 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(1,981² − 1,114²)/1000 = 110 + 1,341 = 111,3 kPa

Ответ

p₁ = 111,3 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 9,437 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(20000/1000 + 9,81·2,5)) = 9,437 m/s

Ответ

v = 9,437 m/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 8,014 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 100/44,01 = 2,272 mol

T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Объём

V = nRT/P = 2,272·8,314·318,1/750 = 8,014 L

Ответ

V = 8,014 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 9,406 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Плотность

ρ = 750·39,95/(8,314·383,1) = 9,406 kg/m³

Ответ

ρ = 9,406 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 3472 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/1023 = 70,86 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,7086·4900 = 3472 kJ

Ответ

W_max = 3472 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_m = 238,1 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Равные КПД

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m даёт T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(923,1·283,1) = 511,3 K = 238,1 °C

Ответ

T_m = 238,1 °C

19.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 4 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/6

d_i = −24 cm

Увеличение и высота

m = −(−24)/6 = 4

h_i = 4·1 = 4 cm

Ответ

h_i = 4 cm

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 12,19 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/18 → d_i1 = 90 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 25 − 90 = −65 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/15 − 1/(−65) → d_i2 = 12,19 cm

Ответ

d_i2 = 12,19 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers