Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 60 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 20 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 4 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 120 N тянет передний брусок массой 6 kg; брусок массой 11 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 11 kgm₂ = 6 kgF = 120 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 30 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 6 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 5 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 24 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 2,5 kgh = 24 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,4 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 2,5 kgL = 1,4 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в аэродинамической трубе показывает разность 1000 Pa между давлением торможения и статическим давлением. Плотность воздуха 1,2 kg/m³. Найдите скорость воздуха v.

p₀ − p = 1000 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 190 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 20 mm, расположенное на 4 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 190 kPa (избыточное)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 40 g газа (CH₄) при 700 kPa и 30 °C? Считайте газ идеальным.

m = 40 gM = 16,04 g/molP = 700 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (Ar) переходит от 300 kPa, 5 L, 15 °C к 600 kPa и 240 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 275 °C и холодным при 10 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 275 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина Карно получает 60 kW теплоты от источника при 600 °C и отдаёт теплоту окружающей среде при 30 °C. Вся её работа приводит холодильную машину Карно, которая отводит теплоту из морозильной камеры при -5 °C и тоже отдаёт теплоту окружающей среде при 30 °C. Найдите тепловой поток Q̇_L, отводимый из морозильной камеры.

T_H = 600 °CT₀ = 30 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 60 kW

Q̇_L = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 40 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 40 cmf = 10 cm

m =

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,41. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,46n₂ = 1,41

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 4,762 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/3,5 = 4,762 s

Ответ

t = 4,762 s

2.Кинематика

Ответ: t = 4,908 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,908 s

Ответ

t = 4,908 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,216 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,3·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2457) = 3,216 m/s²

Ответ

a = 3,216 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 77,65 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (120 − 41,69)/17 = 4,606 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(4,606 + 2,453) = 77,65 N

Ответ

T = 77,65 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 79,96 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 25° = 13,52 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·13,52/9,81 = 2,757 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 29·2,757 = 79,96 m

Ответ

x = 79,96 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 55,25 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 30·cos 30° = 25,98 m/s

v_y0 = 30·sin 30° = 15 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(15² + 2·9,81·60) = 37,45 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 37,45/25,98 → α = 55,25°

Ответ

α = 55,25°

7.Работа и энергия

Ответ: v = 8,412 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·6·(0,7071 − 0,15·0,7071)) = 8,412 m/s

Ответ

v = 8,412 m/s

8.Работа и энергия

Ответ: v = 5,194 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 49,05·2,5 = 122,6 J

μ·m₁g·d = 0,2·29,43·2,5 = 14,71 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 107,9 → v = √(2·107,9/8) = 5,194 m/s

Ответ

v = 5,194 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v = 544,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,24) = 2,17 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2,5)·2,17/0,01 = 544,7 m/s

Ответ

v = 544,7 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: v = 961,1 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 30°) = 0,1876 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1876) = 1,918 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 2,505·1,918/0,005 = 961,1 m/s

Ответ

v = 961,1 m/s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 39,24 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Ответ

F = 39,24 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 90,5 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·3 = 90,5 kN

Ответ

F = 90,5 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 40,82 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1000/1,2) = 40,82 m/s

Ответ

v = 40,82 m/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 21,41 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

Ответ

v = 21,41 m/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 8,979 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 40/16,04 = 2,494 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Объём

V = nRT/P = 2,494·8,314·303,1/700 = 8,979 L

Ответ

V = 8,979 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 4,452 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 288,1 K, T₂ = 513,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(300/600)·(513,1/288,1) = 4,452 L

Ответ

V₂ = 4,452 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 48,34 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 275 + 273,15 = 548,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/548,1 = 48,34 %

Ответ

η_max = 48,34 %

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Q̇_L = 300,1 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T₀ = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Работа машины

η = 1 − 303,1/873,1 = 0,6528

Ẇ = 0,6528·60 = 39,17 kW

Теплота, отводимая холодильником

COP_R = 268,1/(303,1 − 268,1) = 7,661

Q̇_L = 7,661·39,17 = 300,1 kW

Ответ

Q̇_L = 300,1 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,3333

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/40

d_i = 13,33 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −13,33/40 = −0,3333

Ответ

m = −0,3333

20.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,3788

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,41/1,46 = 0,9658 → θc = 74,96°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,41²) = 0,3788

Ответ

NA = 0,3788

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers