Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 13 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 40 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 40 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 95 N тянет передний брусок массой 9 kg; брусок массой 8 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 8 kgm₂ = 9 kgF = 95 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 17 m/s под углом 15° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 17 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 2 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0,15k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 17 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 3 kgh = 17 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 10° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 2 kgL = 1 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 40 mm. Уровень воды поддерживается на 1,5 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,61. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 1,5 mC_d = 0,61g = 9,81 m/s²

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 200 mm до 75 mm и поднимается на 10 m. В сечении 1 давление 290 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 290 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 20 L содержит 160 g газа (O₂) при 60 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 160 gM = 32 g/molV = 20 LT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (CH₄) переходит от 200 kPa, 2 L, 15 °C к 350 kPa и 150 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 650 °C и холодным при 40 °C. Она получает 2600 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 650 °CT_L = 40 °CQ_H = 2600 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос поддерживает в доме 22 °C, когда на улице 0 °C, и подаёт в дом 6 kW теплоты. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 6 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 1 cm находится в 40 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 25 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 1 cmd_o = 40 cmf = 25 cm

h_i = cm

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,62 и оболочка с n₂ = 1,61. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,61

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 21,37 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·6,5) = 21,37 m

Ответ

s = 21,37 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 48,61 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9,81) = 8,614 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 8,614 = 48,61 m

Ответ

h_max = 48,61 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 226,4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 134,2 + 92,18 = 226,4 N

Ответ

F = 226,4 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,626 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 33,35)/17 = 3,626 m/s²

Ответ

a = 3,626 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 102,8 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24,51 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·24,51/9,81 = 4,998 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 20,57·4,998 = 102,8 m

Ответ

x = 102,8 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 64,61 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 17·cos 15° = 16,42 m/s

v_y0 = 17·sin 15° = 4,4 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(4,4² + 2·9,81·60) = 34,59 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 34,59/16,42 → α = 64,61°

Ответ

α = 64,61°

7.Работа и энергия

Ответ: v = 4,01 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,5736 − 0,2·0,8192)) = 4,01 m/s

Ответ

v = 4,01 m/s

8.Работа и энергия

Ответ: x = 15,82 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(3 − 0,15·3) = 25,02 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 25,02 → x = √(2·25,02/2000) = 0,1582 m = 15,82 cm

Ответ

x = 15,82 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v = 549,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,17) = 1,826 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 3)·1,826/0,01 = 549,7 m/s

Ответ

v = 549,7 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: v = 109,7 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 10°) = 0,01519 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,01519) = 0,546 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 2,01·0,546/0,01 = 109,7 m/s

Ответ

v = 109,7 m/s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 73,58 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Ответ

F = 73,58 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,028 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0,125/(3·1,5) = 3,028 m

Ответ

y_cp = 3,028 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 4,158 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,61·0,001257·5,425 = 0,004158 m³/s = 4,158 L/s

Ответ

Q = 4,158 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 185,7 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(200/75)² = 3,556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 3,556²)/1000 = −6,196 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−6,196) − 98,1 = 185,7 kPa

Ответ

p₂ = 185,7 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 692,5 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 160/32 = 5 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Давление

P = nRT/V = 5·8,314·333,1/0,02 = 692,5 kPa

Ответ

P = 692,5 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 1,678 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 288,1 K, T₂ = 423,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/350)·(423,1/288,1) = 1,678 L

Ответ

V₂ = 1,678 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 1718 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/923,1 = 66,08 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,6608·2600 = 1718 kJ

Ответ

W_max = 1718 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,4472 kW

Абсолютные температуры

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Наилучший возможный COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 273,1) = 13,42

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 6/13,42 = 0,4472 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,4472 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −1,667 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/40

d_i = 66,67 cm

Увеличение и высота

m = −66,67/40 = −1,667

h_i = −1,667·1 = −1,667 cm

Ответ

h_i = −1,667 cm

20.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,1797

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,61/1,62 = 0,9938 → θc = 83,63°

Числовая апертура

NA = √(1,62² − 1,61²) = 0,1797

Ответ

NA = 0,1797

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers