Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 15 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 21 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 15 mv_0B = 21 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 2 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 2 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 4,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4,5 m/sθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 18 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 15 m/s под углом 70° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 15 m/sθ = 70°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 11 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,35d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 0,5 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0,15k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 25 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 1 kgh = 25 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1200 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 2000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 23 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1200 kgm₂ = 2000 kgd = 23 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в водопроводной трубе показывает разность 18 kPa между давлением торможения и статическим давлением. Найдите скорость воды v у носика трубки.

p₀ − p = 18 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm и поднимается на 9 m. В сечении 1 давление 370 kPa, а скорость 2,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 50 L содержит 490 g газа (N₂) при 65 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 490 gM = 28,01 g/molV = 50 LT = 65 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (O₂) при 200 kPa и 180 °C, считая его идеальным.

M = 32 g/molP = 200 kPaT = 180 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 3400 kJ теплоты от резервуара при 575 °C и отдаёт 1336 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 575 °CQ_H = 3400 kJQ_L = 1336 kJ

T_L = °C

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос поддерживает в доме 22 °C, когда на улице 2 °C, и подаёт в дом 13 kW теплоты. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 13 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 10 m от него равен 60 dB. Найдите уровень β₂ на расстоянии 100 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β₁ = 60 dBr₁ = 10 mr₂ = 100 m

β₂ = dB

20.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 20 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 15 cm и линза 2 с f₂ = 10 cm. Предмет находится в 40 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 15 cmf₂ = 10 cms = 20 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 18,52 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·7,5) = 18,52 m

Ответ

s = 18,52 m

2.Кинематика

Ответ: t = 0,7143 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 21·t − ½g·t² → t = 15/21 = 0,7143 s

Ответ

t = 0,7143 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,823 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,1·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,08192) = 4,823 m/s²

Ответ

a = 4,823 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,358 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,3·cos 30°) = 7,454 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·7,454) = 1,358 m

Ответ

d = 1,358 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,178 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 60° = 9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 60° = 15,59 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·15,59/9,81 = 3,178 s

Ответ

t = 3,178 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 45,13 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 15·sin 70° = 14,1 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 14,1²/(2·9,81) = 10,13 m

Высота над землёй

H = 35 + 10,13 = 45,13 m

Ответ

H = 45,13 m

7.Работа и энергия

Ответ: W_f = 130,8 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,866 = 33,98 N

F = μN = 0,35·33,98 = 11,89 N

Работа против трения

W_f = F·d = 11,89·11 = 130,8 J

Ответ

W_f = 130,8 J

8.Работа и энергия

Ответ: v = 7,478 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(3 − 0,15·1) = 13,98 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,85) = 7,478 m/s

Ответ

v = 7,478 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v = 223,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,25) = 2,215 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 1)·2,215/0,01 = 223,7 m/s

Ответ

v = 223,7 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 49,06 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·23) = 18,4 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·18,4/1200 = 49,06 m/s

Ответ

v₁ = 49,06 m/s

(176,6 km/h)

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 44,15 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Ответ

F = 44,15 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,939 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·2,5 = 59,35 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 1,302/(2,75·2,5) = 2,939 m

Ответ

y_cp = 2,939 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 6 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·18000/1000) = 6 m/s

Ответ

v = 6 m/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 243,7 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(150/75)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−37,97) − 88,29 = 243,7 kPa

Ответ

p₂ = 243,7 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 983,6 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 490/28,01 = 17,49 mol

T = 65 + 273,15 = 338,1 K

Давление

P = nRT/V = 17,49·8,314·338,1/0,05 = 983,6 kPa

Ответ

P = 983,6 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 1,699 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273,15 = 453,1 K

Плотность

ρ = 200·32/(8,314·453,1) = 1,699 kg/m³

Ответ

ρ = 1,699 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 60,12 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 575 + 273,15 = 848,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 848,1·1336/3400 = 333,3 K = 60,12 °C

Ответ

T_L = 60,12 °C

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,8809 kW

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Наилучший возможный COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 275,1) = 14,76

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 13/14,76 = 0,8809 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,8809 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: β₂ = 40 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (10/100)² = 0,01

Новый уровень

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0,01) = 40 dB

Ответ

β₂ = 40 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 2,857 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/40 → d_i1 = 24 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 20 − 24 = −4 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/10 − 1/(−4) → d_i2 = 2,857 cm

Ответ

d_i2 = 2,857 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers