Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 36 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 36 km/ht_r = 1,5 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 18 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 35 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 35 kgθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 4 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4 m/sθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 24 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 28 m/sθ = 20°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 5 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 40°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Работа и энергияСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 2 kgh = 4 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 18 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 18 m/sv_out = 17 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm. В широкой части давление 150 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 150 mm, горловина 75 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 240 mm. Коэффициент расхода равен 0,97. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 240 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 370 g газа (CH₄) при 350 kPa и 70 °C? Считайте газ идеальным.

m = 370 gM = 16,04 g/molP = 350 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (O₂) при 800 kPa и 70 °C, считая его идеальным.

M = 32 g/molP = 800 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 650 °C и холодным при 20 °C. Она получает 2600 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 650 °CT_L = 20 °CQ_H = 2600 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина Карно получает 110 kW теплоты от источника при 1000 °C и отдаёт теплоту окружающей среде при 27 °C. Вся её работа приводит холодильную машину Карно, которая отводит теплоту из морозильной камеры при -10 °C и тоже отдаёт теплоту окружающей среде при 27 °C. Найдите тепловой поток Q̇_L, отводимый из морозильной камеры.

T_H = 1000 °CT₀ = 27 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 110 kW

Q̇_L = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Наблюдатель движется со скоростью 15 m/s к неподвижному источнику частотой 600 Hz. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,52 и оболочка с n₂ = 1,47. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,52n₂ = 1,47n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 26,11 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 10·1,5 = 15 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·4,5) = 11,11 m

Итого

d = 15 + 11,11 = 26,11 m

Ответ

d = 26,11 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,929 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−5 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 5 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·5))/9,81 = 3,929 s

Ответ

t = 3,929 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 122 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 88,87 + 33,17 = 122 N

Ответ

F = 122 N

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,63 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,25·cos 15°) = 4,908 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·4,908) = 1,63 m

Ответ

d = 1,63 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 25,92 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 70° = 8,208 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 70° = 22,55 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 22,55²/(2·9,81) = 25,92 m

Ответ

H = 25,92 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,994 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 20° = 26,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 20° = 9,577 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 40 + 9,577·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,577 + √(91,71 + 784,8))/9,81 = 3,994 s

Ответ

t = 3,994 s

7.Работа и энергия

Ответ: W_f = 4,697 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,766 = 3,757 N

F = μN = 0,25·3,757 = 0,9394 N

Работа против трения

W_f = F·d = 0,9394·5 = 4,697 J

Ответ

W_f = 4,697 J

8.Работа и энергия

Ответ: N = 58,86 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4 − 2) = 39,24 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·39,24/1 − 19,62 = 58,86 N

Ответ

N = 58,86 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,8333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 3,5)/(2,5 + 3,5)·5 = −0,8333 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3,5)·5 = 4,167 m/s

Ответ

v′₁ = −0,8333 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 437,5 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(17 + 18) = 17,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 17,5/0,04 = 437,5 N

Ответ

F_avg = 437,5 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 58,86 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Ответ

F = 58,86 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 142,5 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−7,5) = 142,5 kPa

Ответ

p₂ = 142,5 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 34,09 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,24 = 29665 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 75/150 = 0,5

v₂ = √(2·29665/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,955 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,004418·7,955 = 0,03409 m³/s = 34,09 L/s

Ответ

Q = 34,09 L/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 188 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 370/16,04 = 23,07 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Объём

V = nRT/P = 23,07·8,314·343,1/350 = 188 L

Ответ

V = 188 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 8,973 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Плотность

ρ = 800·32/(8,314·343,1) = 8,973 kg/m³

Ответ

ρ = 8,973 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 1774 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/923,1 = 68,24 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,6824·2600 = 1774 kJ

Ответ

W_max = 1774 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Q̇_L = 597,9 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 1000 + 273,15 = 1273 K

T₀ = 27 + 273,15 = 300,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Работа машины

η = 1 − 300,1/1273 = 0,7642

Ẇ = 0,7642·110 = 84,07 kW

Теплота, отводимая холодильником

COP_R = 263,1/(300,1 − 263,1) = 7,112

Q̇_L = 7,112·84,07 = 597,9 kW

Ответ

Q̇_L = 597,9 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 626,2 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 626,2 Hz

Ответ

f′ = 626,2 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 22,75 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,47/1,52 = 0,9671 → θc = 75,26°

Числовая апертура

NA = √(1,52² − 1,47²) = 0,3867

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,3867) = 22,75°

Ответ

θ_a = 22,75°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers