Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 50 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 17 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 11 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 11 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 30° к горизонту, и он падает на расстоянии 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 30°R = 25 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 21 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 10 kg висит на лёгкой нити длиной 0,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 45° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 10 kgL = 0,5 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 1 kgh = 1,5 mL = 2 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 7 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 1,5 kgh = 7 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 19 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 7 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,15 kgv_in = 19 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 50 mm. В широкой части давление 140 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 80 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 40 mm, расположенное на 3 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 80 kPa (избыточное)h = 3 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 90 g газа (CO₂) при 400 kPa и 0 °C? Считайте газ идеальным.

m = 90 gM = 44,01 g/molP = 400 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (CO₂) переходит от 200 kPa, 10 L, 10 °C к 700 kPa и 90 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 10 LT₁ = 10 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 325 °C и холодным при 15 °C. Она получает 2400 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 325 °CT_L = 15 °CQ_H = 2400 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос поддерживает в доме 21 °C, когда на улице 7 °C, и подаёт в дом 7 kW теплоты. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 21 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 7 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 1,5 cm находится в 4 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 25 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 1,5 cmd_o = 4 cmf = 25 cm

h_i = cm

20.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 40 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 15 cm и линза 2 с f₂ = −15 cm. Предмет находится в 18 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 15 cmf₂ = −15 cms = 40 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 4,63 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/3 = 4,63 s

Ответ

t = 4,63 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 44,73 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Высота над землёй

h_max = 30 + 14,73 = 44,73 m

Ответ

h_max = 44,73 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 36,79 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 18,39)/12,5 = 2,453 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·2,453 + 18,39 = 36,79 N

Ответ

T = 36,79 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 16,83 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·25/sin 60°) = 16,83 m/s

Ответ

v₀ = 16,83 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 39,06 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 20° = 19,73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 20° = 7,182 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 7,182·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,182 + √(51,59 + 98,1))/9,81 = 1,979 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 19,73·1,979 = 39,06 m

Ответ

x = 39,06 m

7.Работа и энергия

Ответ: T = 155,6 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 45°) = 2,873 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·2,873/0,5 = 155,6 N

Ответ

T = 155,6 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 155,6 N.

8.Работа и энергия

Ответ: v = 4,429 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(1,5 − 0,25·2) = 9,81 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Ответ

v = 4,429 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v = 177 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,07) = 1,172 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 1,5)·1,172/0,01 = 177 m/s

Ответ

v = 177 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 156 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(7 + 19) = 3,9 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 3,9/0,025 = 156 N

Ответ

F_avg = 156 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 40,47 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN

Ответ

F = 40,47 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 84,98 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·2,5 = 84,98 kN

Ответ

F = 84,98 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 135,8 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−4,219) = 135,8 kPa

Ответ

p₂ = 135,8 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 14,79 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(80000/1000 + 9,81·3)) = 14,79 m/s

Ответ

v = 14,79 m/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 11,61 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 90/44,01 = 2,045 mol

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Объём

V = nRT/P = 2,045·8,314·273,1/400 = 11,61 L

Ответ

V = 11,61 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 3,664 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 283,1 K, T₂ = 363,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(200/700)·(363,1/283,1) = 3,664 L

Ответ

V₂ = 3,664 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 1244 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 325 + 273,15 = 598,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/598,1 = 51,83 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,5183·2400 = 1244 kJ

Ответ

W_max = 1244 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,3332 kW

Абсолютные температуры

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Наилучший возможный COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 280,1) = 21,01

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 7/21,01 = 0,3332 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,3332 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 1,786 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/4

d_i = −4,762 cm

Увеличение и высота

m = −(−4,762)/4 = 1,19

h_i = 1,19·1,5 = 1,786 cm

Ответ

h_i = 1,786 cm

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −21,43 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/18 → d_i1 = 90 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 40 − 90 = −50 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/(−50) → d_i2 = −21,43 cm

Ответ

d_i2 = −21,43 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers