Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 1,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1300 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 13 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 13 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 90 N тянет передний брусок массой 12 kg; брусок массой 9 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 9 kgm₂ = 12 kgF = 90 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 22 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 39 m/s под углом 55° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 6 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 39 m/sθ = 55°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 10 kg висит на лёгкой нити длиной 2 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 70° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 10 kgL = 2 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 2,5 mL = 4 mμ = 0,1k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 5 kg, движущийся горизонтально со скоростью 33 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 4 kg продолжает движение вперёд со скоростью 54 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 5 kgu = 33 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 54 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 16 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,4 kgv_in = 16 m/sv_out = 17 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 50 mm. В широкой части давление 320 kPa, а скорость 2,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 320 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm и поднимается на 4 m. В сечении 1 давление 200 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 50 g газа (O₂) при 500 kPa и 90 °C? Считайте газ идеальным.

m = 50 gM = 32 g/molP = 500 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (CO₂) переходит от 250 kPa, 20 L, 15 °C к 250 kPa и 230 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 15 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 575 °C и холодным при 40 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 575 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 1600 kJ теплоты от резервуара при 300 °C, совершает 576 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 40 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 300 °CT_L = 40 °CQ_H = 1600 kJW = 576 kJ

S_gen = kJ/K

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «глицерин» (n = 1,47). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 2,42n₂ = 1,47

θ_c = °

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,55 и оболочка с n₂ = 1,53. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,55n₂ = 1,53n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 67,45 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·1300) = 67,45 m/s

Ответ

v = 67,45 m/s

(242,8 km/h)

2.Кинематика

Ответ: t = 3,917 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,917 s

Ответ

t = 3,917 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,257 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,1·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,09063) = 3,257 m/s²

Ответ

a = 3,257 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 38,57 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 41,2)/21 = 2,324 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(2,324 + 1,962) = 38,57 N

Ответ

T = 38,57 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 46,36 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 55° = 12,62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 55° = 18,02 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·18,02/9,81 = 3,674 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 12,62·3,674 = 46,36 m

Ответ

x = 46,36 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 141,4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 22,37 m/s, v_y = 31,95 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

6 = 31,95·t − 4,905·t²

t = (31,95 + √(31,95² − 2·9,81·6))/9,81 = 6,32 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 22,37·6,32 = 141,4 m

Ответ

x = 141,4 m

7.Работа и энергия

Ответ: T = 227,2 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 70°) = 25,82 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·25,82/2 = 227,2 N

Ответ

T = 227,2 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 227,2 N.

8.Работа и энергия

Ответ: x = 11,72 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(2,5 − 0,1·4) = 10,3 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 10,3 → x = √(2·10,3/1500) = 0,1172 m = 11,72 cm

Ответ

x = 11,72 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −51 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 5·33 = 165 kg·m/s

Импульс после удара

165 = 4·54 + 1·v′₂

v′₂ = (165 − 216)/1 = −51 m/s

Ответ

v′₂ = −51 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 264 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(17 + 16) = 13,2 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 13,2/0,05 = 264 N

Ответ

F_avg = 264 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 143,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN

Ответ

F = 143,5 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,714 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·3 = 90,64 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 2,25/(3,5·3) = 3,714 m

Ответ

y_cp = 3,714 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 263,3 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−56,72) = 263,3 kPa

Ответ

p₂ = 263,3 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 155,1 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/40)² = 3,516 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 3,516²)/1000 = −5,68 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−5,68) − 39,24 = 155,1 kPa

Ответ

p₂ = 155,1 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 9,435 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 50/32 = 1,563 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Объём

V = nRT/P = 1,563·8,314·363,1/500 = 9,435 L

Ответ

V = 9,435 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 34,92 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 288,1 K, T₂ = 503,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/250)·(503,1/288,1) = 34,92 L

Ответ

V₂ = 34,92 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 63,08 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 575 + 273,15 = 848,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/848,1 = 63,08 %

Ответ

η_max = 63,08 %

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 0,4784 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 1600 − 576 = 1024 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −1600/573,1 = −2,792 kJ/K

ΔS_L = 1024/313,1 = 3,27 kJ/K

S_gen = 3,27 − 2,792 = 0,4784 kJ/K

Ответ

S_gen = 0,4784 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

19.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 37,4 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,47/2,42 = 0,6074

Критический угол

θc = arcsin(0,6074) = 37,4°

Ответ

θ_c = 37,4°

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 14,37 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,53/1,55 = 0,9871 → θc = 80,79°

Числовая апертура

NA = √(1,55² − 1,53²) = 0,2482

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,2482) = 14,37°

Ответ

θ_a = 14,37°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers