Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 220 km/h, а длина полосы 1600 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 40 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 29 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 40 mv_0B = 29 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 7 m/s и останавливается через 12 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 7 m/sd = 12 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 6,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 6,5 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 20 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 16 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,1d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 17,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 5 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 17,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 18 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 700 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 15 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,1 kgv_in = 15 m/sv_out = 5 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm. В широкой части давление 290 kPa, а скорость 2,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm и поднимается на 4 m. В сечении 1 давление 310 kPa, а скорость 2,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 240 g газа (N₂) при 200 kPa и 70 °C? Считайте газ идеальным.

m = 240 gM = 28,01 g/molP = 200 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (N₂) переходит от 250 kPa, 10 L, 35 °C к 250 kPa и 180 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 180 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 600 °C и холодным при 15 °C. Она получает 1700 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 600 °CT_L = 15 °CQ_H = 1700 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере -18 °C на кухне при 30 °C, отводя из камеры теплоту 5 kW. Найдите наибольший возможный холодильный коэффициент COP_max.

T_H = 30 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 300 Hz, движущийся со скоростью 34 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 5 m/s, приближаются друг к другу. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 20 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 10 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 20 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,167 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 220/3,6 = 61,11 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 61,11²/(2·1600) = 1,167 m/s²

Ответ

a = 1,167 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 1,379 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

40 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 40/29 = 1,379 s

Ответ

t = 1,379 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2081

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·12) = 2,042 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,042/9,81 = 0,2081

Ответ

μ = 0,2081

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,8985 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 31,87 N

μ·m₁·g·cos θ = 17,51 N

Ускорение системы

a = (63,77 − 31,87 − 17,51)/16 = 0,8985 m/s²

Ответ

a = 0,8985 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,456 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 40° = 26,05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 40° = 21,85 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·21,85/9,81 = 4,456 s

Ответ

t = 4,456 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 45,42 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 40° = 15,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 40° = 12,86 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 12,86·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,86 + √(165,3 + 98,1))/9,81 = 2,965 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15,32·2,965 = 45,42 m

Ответ

x = 45,42 m

7.Работа и энергия

Ответ: v = 12,42 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,5736 − 0,1·0,8192)) = 12,42 m/s

Ответ

v = 12,42 m/s

8.Работа и энергия

Ответ: v = 12,13 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(17,5 − 10) = 147,2 m²/s²

v = 12,13 m/s

Ответ

v = 12,13 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

9.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 84000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·18/2700 = 13,33 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·18² = 324000 J

K_after = ½·2700·13,33² = 240000 J

Потерянная энергия

ΔK = 324000 − 240000 = 84000 J

Ответ

ΔK = 84000 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

10.Импульс и столкновения

Ответ: J = 2 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(5 + 15) = 2 N·s

Ответ

J = 2 N·s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 202,3 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·7,5 = 202,3 kN

Ответ

F = 202,3 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 283,2 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(100/75)² = 4,444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 4,444²)/1000 = −6,752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−6,752) = 283,2 kPa

Ответ

p₂ = 283,2 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 264 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(100/75)² = 4,444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 4,444²)/1000 = −6,752 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−6,752) − 39,24 = 264 kPa

Ответ

p₂ = 264 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 122,2 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 240/28,01 = 8,568 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Объём

V = nRT/P = 8,568·8,314·343,1/200 = 122,2 L

Ответ

V = 122,2 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 14,71 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 308,1 K, T₂ = 453,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/250)·(453,1/308,1) = 14,71 L

Ответ

V₂ = 14,71 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 1139 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/873,1 = 67 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,67·1700 = 1139 kJ

Ответ

W_max = 1139 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: COP_max = 5,316

Абсолютные температуры

T_H = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255,1/(303,1 − 255,1) = 5,316

Ответ

COP_max = 5,316

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 337,9 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 5)/(343 − 34)

f′ = 337,9 Hz

Ответ

f′ = 337,9 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 1201 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 20000·(343 + 10)/343 = 20583 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 10) = 21201 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 1201 Hz

Ответ

f_b = 1201 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers