Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

В корреляционном анализе r = 0,40. Какая доля дисперсии одной переменной является общей с другой?

  1. A60%
  2. B40%
  3. C4%
  4. D16%
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследование обнаружило, что студенты, которые больше спят, имеют более высокие оценки. Какое изменение дизайна лучше всего позволило бы сделать причинный вывод?

  1. AСлучайно распределить студентов по разным режимам сна
  2. BОпросить больше студентов
  3. CПопросить студентов дважды сообщить о своём сне и усреднить два отчёта
  4. DТочнее измерять оценки
3.Описательная статистикаСредняя
152025303540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 13, 23, 48, 20, 57.

n = 5
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 82?

μ = 100σ = 12x = 82
P =
5.ВероятностьСредняя
xp(x)10,320,3530,340,05μ = 2,1

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05
σ =
6.ВероятностьСложная
n = 6, p = 0,25: P(X = 4) = ?k0123456

В тесте 6 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?

n = 6p = 0,25k = 4
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
82,75118P = ?

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 82,75 и 118 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x1 = 82,75x2 = 118
P =
8.Нормальное распределениеСложная
10 cm0X − Y?

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 83,5 h, известное стандартное отклонение 9 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 74,5 h, известное стандартное отклонение 18 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 83,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 100x̄₂ = 74,5 hσ₂ = 18 h99%
нижняя граница = h
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 30, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 30. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 30E = 0,599%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −1,9901,99

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 196 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196s = 20n = 81
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
μ₀x̄c

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 2.5. В действительности среднее равно 498.85. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 498,85σ = 2,5n = 25α = 0,05
β = %
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy244661081310151216xy51051015

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6
r² =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy144246354453558665xy2465060x = 2,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2,5, 46). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 46)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
автобусвелосипедавтомобильИтогостуденты293556120сотрудники746760Итого368163180

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 3 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · 16%

Почему это ответ

Коэффициент детерминации равен r², здесь 0,40² = 0,16, то есть общая доля дисперсии — 16%.

Ответ

D · 16%
2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Случайно распределить студентов по разным режимам сна

Почему это ответ

Только манипуляция сном со случайным распределением контролирует третьи переменные и позволяет сделать причинный вывод в рамках этики.

Ответ

A · Случайно распределить студентов по разным режимам сна
3.Описательная статистика

Ответ: s = 19,15

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 161/5 = 32,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−19,2)² + (−9,2)² + 15,8² + (−12,2)² + 24,8² = 1467

Стандартное отклонение

s = √(1467/4) = 19,15

Ответ

s = 19,15
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681
5.Вероятность

Ответ: σ = 0,8888

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 + 4·0,05 = 2,1

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 + 16·0,05 = 5,2

Дисперсия

Var(X) = 5,2 − 2,1² = 0,79
σ = √0,79 = 0,8888

Ответ

σ = 0,8888
6.Вероятность

Ответ: P = 0,03296

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 4) = 15·0,254·0,752 = 15·0,003906·0,5625 = 0,03296

Ответ

P = 0,03296
7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7599

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15
z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−1,15) = 0,8849 − 0,1251 = 0,7599

Ответ

P = 0,7599
8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 3,481 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 83,5 − 74,5 = 9

Стандартная ошибка

SE = √(9²/60 + 18²/100) = 2,142

Предельная ошибка

E = 2,576·2,142 = 5,519

Интервал

9 ± 5,519 → [3,481, 14,52]

Ответ

нижняя граница = 3,481 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 23889

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·30/0,5)² = 23889

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 23889

Ответ

n = 23889
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (196 − 200)/2,222 = −1,8

Ответ

t = −1,8
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 25,62 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 2,5/√25 = 0,5
x̄c = 500 − 1,645·0,5 = 499,2

z при истинном среднем

z = (499,2 − 498,85)/0,5 = 0,655

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 0.655) = 74.38%
β = 100% − 74,38% = 25,62%

Ответ

β = 25,62%
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9697

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 64/6 = 10,67

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Syy = Σ(y − ȳ)² = 119,3

Коэффициент детерминации

r² = 90²/(70·119,3) = 0,9697

Ответ

r² = 0,9697

Прямая объясняет около 96,97% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,333

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 320/6 = 53,33

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Линия регрессии

b = 70/17,5 = 4
a = 53,33 − 4·3,5 = 39,33
ŷ = 39,33 + 4·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 39,33 + 4·2,5 = 49,33

Остаток

e = 46 − 49,33 = −3,333

Ответ

e = −3,333

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 37,18

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 120·36/180 = 24, 120·81/180 = 54, 120·63/180 = 42
сотрудники: 60·36/180 = 12, 60·81/180 = 27, 60·63/180 = 21

Статистика хи-квадрат

χ² = (29 − 24)²/24 + (35 − 54)²/54 + (56 − 42)²/42 + (7 − 12)²/12 + (46 − 27)²/27 + (7 − 21)²/21
χ² = 37,18

Ответ

χ² = 37,18

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 5,991

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Таблица

χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Ответ

χ²crit = 5,991

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology