Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какие данные собирает открытый вопрос в интервью?

AКачественные данные
BДанные шкалы отношений
CТолько номинальные количественные данные
DИнтервальные данные

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследование показывает, что влияние стресса на болезни слабее у людей с сильной социальной поддержкой. Социальная поддержка выступает здесь как:

AЗависимая переменная
BКонфаунд
CМодератор
DМедиатор

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 57, 58, 16, 37, 56, 37.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Найдите z-оценку z для результата 400.

μ = 500σ = 50x = 400

z =

5.ВероятностьСредняя

В мешочке 4 красных и 9 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

4 / 9

P =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15Y = 3X + 5

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 440 и 534 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 440x₂ = 534

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 80% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,3. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по тем же данным?

90%n₁ = 64E₁ = 2,395%

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,8 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?

p ≈ 0,8E = 0,0595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 52,9 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,9s = 8n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 2,590%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 0). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3, 0)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1603 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Качественные данные

Почему это ответ

Открытые вопросы дают богатые качественные данные, которые сложнее анализировать статистически, чем ответы на закрытые вопросы.

Ответ

A · Качественные данные

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Модератор

Почему это ответ

Модератор изменяет силу или направление связи между двумя переменными. Медиатор объясняет механизм, через который одна переменная влияет на другую.

Ответ

C · Модератор

3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,67

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 261/6 = 43,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 13,5² + 14,5² + (−27,5)² + (−6,5)² + 12,5² + (−6,5)² = 1390

Стандартное отклонение

s = √(1390/5) = 16,67

Ответ

s = 16,67

4.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (400 − 500)/50 = −2

Ответ

z = −2

5.Вероятность

Ответ: P = 0,07692

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Ответ

P = 0,07692

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 3,186

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,15, Var(X) = 1,128, σ_X = 1,062

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,062 = 3,186

Ответ

σ_Y = 3,186

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·2,15 + 5 = 11,45.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7355

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5

z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85

Площадь между

P = Φ(0,85) − Φ(−1,5) = 0,8023 − 0,06681 = 0,7355

Ответ

P = 0,7355

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 534 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Ответ

x = 534 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 2,74

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/64) = 1,191

Новая предельная ошибка

E₂ = 2,3·1,191 = 2,74

Ответ

E₂ = 2,74

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 246

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,8·0,2/0,05² = 245,9

Округлите вверх

n = 246

Ответ

n = 246

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Статистика критерия

t = (52,9 − 50)/1 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 7

Выразите n

n = (1,645·4/2,5)² = 6,927

Округлите вверх

n = 7

Ответ

n = 7

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9032

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 69,2

Коэффициент детерминации

r² = −25²/(10·69,2) = 0,9032

Ответ

r² = 0,9032

Прямая объясняет около 90,32% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,6

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 56/5 = 11,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

Линия регрессии

b = 88/40 = 2,2

a = 11,2 − 2,2·6 = −2

ŷ = −2 + 2,2·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −2 + 2,2·3 = 4,6

Остаток

e = 0 − 4,6 = −4,6

Ответ

e = −4,6

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 12,98

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48

село: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (43 − 36)²/36 + (26 − 36)²/36 + (51 − 48)²/48 + (11 − 18)²/18 + (28 − 18)²/18 + (21 − 24)²/24

χ² = 12,98

Ответ

χ² = 12,98

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 3,472

Ожидаемые частоты

завод A: 24, 16

завод B: 36, 24

завод C: 36, 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (28 − 24)²/24 + (12 − 16)²/16 + (31 − 36)²/36 + (29 − 24)²/24 + (37 − 36)²/36 + (23 − 24)²/24

χ² = 3,472

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

3,472 < 9,210

Ответ

χ² = 3,472

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology